La siguiente lista en matemáticas contiene los grupos finitos de pequeño orden hasta el isomorfismo de grupo .
Cuenta
Para n = 1, 2, … el número de grupos no isomorfos de orden n es
- 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (secuencia A000001 en la OEIS )
Para grupos etiquetados, consulte OEIS : A034383 .
Glosario
La biblioteca de grupos pequeños nombra cada grupo como G o i , donde o es el orden del grupo e i es el índice utilizado para etiquetar el grupo dentro de ese orden.
Nombres de grupos comunes:
- Z n : el grupo cíclico de orden n (también se utiliza la notación C n ; es isomorfo al grupo aditivo de Z / n Z )
- Dih n : el grupo diedro de orden 2 n (a menudo se utiliza la notación D n o D 2 n )
- D 2 n : el grupo diedro de orden 2 n , igual que Dih n (notación utilizada en la sección Lista de pequeños grupos no abelianos)
- S n : el grupo simétrico de grado n , que contiene las n ! permutaciones de n elementos
- A n : el grupo alterno de grado n , que contiene las permutaciones pares de n elementos, de orden 1 para n = 0, 1 , y orden n !/2 en caso contrario
- Dic n o Q 4 n : el grupo dicíclico de orden 4 n
Las notaciones Z n y Dih n tienen la ventaja de que los grupos puntuales en tres dimensiones C n y D n no tienen la misma notación. Existen más grupos de isometría que estos dos, del mismo tipo de grupo abstracto.
La notación G × H denota el producto directo de los dos grupos; G n denota el producto directo de un grupo consigo mismo n veces. G ⋊ H denota un producto semidirecto donde H actúa sobre G ; esto también puede depender de la elección de la acción de H sobre G .
Se señalan los grupos abelianos y simples . (Para grupos de orden n < 60 , los grupos simples son precisamente los grupos cíclicos Z n , para primo n .) El signo de igualdad ("=") denota isomorfismo.
El elemento de identidad en los gráficos de ciclos está representado por el círculo negro. El orden más bajo para el cual el gráfico de ciclos no representa de manera única un grupo es el orden 16.
En las listas de subgrupos no se enumeran el grupo trivial ni el grupo mismo. Cuando hay varios subgrupos isomorfos, se indica entre paréntesis el número de dichos subgrupos.
Los corchetes angulares <relaciones> muestran la presentación de un grupo .
Lista de pequeños grupos abelianos
Los grupos abelianos finitos son grupos cíclicos o productos directos de los mismos; véase grupo abeliano . Los números de grupos abelianos no isomorfos de órdenes n = 1, 2, ... son
- 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (secuencia A000688 en la OEIS )
Para grupos abelianos etiquetados, consulte OEIS : A034382 .
Lista de pequeños grupos no abelianos
Los números de grupos no abelianos, por orden, se cuentan por (secuencia A060689 en la OEIS ). Sin embargo, muchos órdenes no tienen grupos no abelianos. Los órdenes para los que existe un grupo no abeliano son
- 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (secuencia A060652 en la OEIS )
Clasificación de grupos de orden pequeño
Los grupos pequeños de orden de potencia primo p n se dan de la siguiente manera:
- Orden p : El único grupo es cíclico.
- Orden p 2 : Sólo hay dos grupos, ambos abelianos.
- Orden p 3 : Hay tres grupos abelianos y dos grupos no abelianos. Uno de los grupos no abelianos es el producto semidirecto de un subgrupo cíclico normal de orden p 2 por un grupo cíclico de orden p . El otro es el grupo de cuaterniones para p = 2 y un grupo de exponente p para p > 2 .
- Orden p 4 : La clasificación es complicada y se vuelve mucho más difícil a medida que aumenta el exponente de p .
La mayoría de los grupos de orden pequeño tienen un subgrupo de Sylow P con un complemento p normal N para algún primo p que divide el orden, por lo que se pueden clasificar en términos de los posibles primos p , p -grupos P , grupos N y acciones de P sobre N . En cierto sentido, esto reduce la clasificación de estos grupos a la clasificación de p -grupos. Algunos de los grupos pequeños que no tienen un complemento p normal incluyen:
- Orden 24: El grupo simétrico S 4
- Orden 48: El grupo octaédrico binario y el producto S 4 × Z 2
- Orden 60: El grupo alterno A 5 .
El orden más pequeño para el cual no se sabe cuántos grupos no isomorfos hay es 2048 = 2 11 . [7]
Biblioteca para grupos pequeños
El sistema de álgebra computacional GAP contiene un paquete llamado "Biblioteca de grupos pequeños", que proporciona acceso a descripciones de grupos de orden pequeño. Los grupos se enumeran hasta el isomorfismo . En la actualidad, la biblioteca contiene los siguientes grupos: [8]
- aquellos de orden 2000 como máximo [9] excepto el orden 1024 ( 423 164 062 grupos en la biblioteca; los de orden 1024 tuvieron que ser omitidos, ya que hay 49 487 367 289 2-grupos no isomorfos adicionales de orden 1024 [10] );
- los de orden cubefree como máximo 50000 (395 703 grupos);
- aquellos de orden cuadrado-libre ;
- aquellos de orden p n para n como máximo 6 y p primo;
- aquellos de orden p 7 para p = 3, 5, 7, 11 (907 489 grupos);
- aquellos de orden pq n donde q n divide a 2 8 , 3 6 , 5 5 o 7 4 y p es un primo arbitrario que difiere de q ;
- aquellos cuyos órdenes se factorizan en como máximo 3 primos (no necesariamente distintos).
Contiene descripciones explícitas de los grupos disponibles en formato legible por computadora.
El pedido más pequeño para el cual la biblioteca de Grupos Pequeños no tiene información es 1024.
Véase también
Notas
- ^ ab Identificador cuando los grupos se numeran por orden, o , luego por índice, i , de la biblioteca de grupos pequeños, comenzando en 1.
- ^ de Dockchitser, Tim. "Nombres de grupos" . Consultado el 23 de mayo de 2023 .
- ^ Vea un ejemplo resuelto que muestra el isomorfismo Z 6 = Z 3 × Z 2 .
- ^ Chen, Jing; Tang, Lang (2020). "Los grafos conmutativos en grupos dicíclicos". Algebra Colloquium . 27 (4): 799–806. doi :10.1142/S1005386720000668. ISSN 1005-3867. S2CID 228827501.
- ^ abcdefg Coxeter, HSM (1957). Generadores y relaciones para grupos discretos . Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-662-25739-5. ISBN 978-3-662-23654-3.
<l,m,n>: R l = S m = T n = RST
: - ^ Wild, Marcel (2005). "Los grupos de orden dieciséis simplificados" (PDF) . Am. Math. Mon . 112 (1): 20–31. doi :10.1080/00029890.2005.11920164. JSTOR 30037381. S2CID 15362871. Archivado desde el original (PDF) el 23 de septiembre de 2006.
- ^ "Estructura de subgrupo del grupo simétrico: S4 - Groupprops".
- ^ Eick, Bettina; Horn, Max; Hulpke, Alexander (2018). Construcción de grupos de orden pequeño: resultados recientes y problemas abiertos (PDF) . Springer. págs. 199–211. doi :10.1007/978-3-319-70566-8_8. ISBN 978-3-319-70566-8.
- ^ Hans Ulrich Besche La biblioteca de pequeños grupos Archivado el 5 de marzo de 2012 en Wayback Machine.
- ^ "Números de tipos de isomorfismo de grupos finitos de un orden determinado". www.icm.tu-bs.de . Archivado desde el original el 25 de julio de 2019 . Consultado el 5 de abril de 2017 .
- ^ Burrell, David (8 de diciembre de 2021). "Sobre el número de grupos de orden 1024". Communications in Algebra . 50 (6): 2408–2410. doi :10.1080/00927872.2021.2006680.
Referencias
- Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9., Tabla 1, Grupos no abelianos orden<32.
- Hall, Jr., Marshall ; Senior, James K. (1964). "Los grupos de orden 2 n ( n ≤ 6)". MathSciNet . Macmillan. MR 0168631.Un catálogo de los 340 grupos de orden que dividen 64 con tablas de relaciones definitorias, constantes y red de subgrupos de cada grupo.
Enlaces externos
- Grupos particulares en el Wiki de Propiedades de Grupo
- Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, E. "Biblioteca de grupos pequeños". Archivado desde el original el 5 de marzo de 2012.
- Base de datos de nombres de grupos
- Hall, Jr., Marshall; Senior, James Kuhn (1964). Los grupos de orden 2n (n ≤ 6). Nueva York: Macmillan / Londres: Collier-Macmillan Ltd. LCCN 64016861
