Dominio de Lipschitz

En matemáticas , un dominio de Lipschitz (o dominio con borde de Lipschitz ) es un dominio en el espacio euclidiano cuyo borde es "suficientemente regular" en el sentido de que puede considerarse como si fuera localmente el gráfico de una función continua de Lipschitz . El término recibe su nombre del matemático alemán Rudolf Lipschitz .

Definición

Sea . Sea un dominio de y sea el límite de . Entonces se llama dominio de Lipschitz si para cada punto existe un hiperplano de dimensión que pasa por , una función Lipschitz-continua sobre ese hiperplano y números reales y tales que ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle p\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g:H\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle h>0}$

• ${\displaystyle \Omega \cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ -h<y<g(x)\right\}}$
• ${\displaystyle (\partial \Omega )\cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ g(x)=y\right\}}$

dónde

${\displaystyle {\vec {n}}}$es un vector unitario que es normal a ${\displaystyle H,}$

${\displaystyle B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x-p\|<r\}}$es la bola abierta de radio , ${\displaystyle r}$

${\displaystyle C:=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ {-h}<y<h\right\}.}$

En otras palabras, en cada punto de su frontera, está localmente el conjunto de puntos ubicados por encima de la gráfica de alguna función de Lipschitz. ${\displaystyle \Omega }$

Generalización

Un concepto más general es el de dominios Lipschitz débiles , que son dominios cuyo límite es localmente aplanable mediante una función bilipschitz. Los dominios Lipschitz en el sentido anterior a veces se denominan Lipschitz fuertes en contraste con los dominios Lipschitz débiles.

Un dominio es débilmente Lipschitz si para cada punto existe un radio y una función tal que ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle p\in \partial \Omega ,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \ell _{p}:B_{r}(p)\rightarrow Q}$

• ${\displaystyle \ell _{p}}$es una biyección ;
• ${\displaystyle \ell _{p}}$y ambas son funciones continuas de Lipschitz; ${\displaystyle l_{p}^{-1}}$
• ${\displaystyle \ell _{p}\left(\partial \Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{0};}$
• ${\displaystyle \ell _{p}\left(\Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{+};}$

donde denota la unidad de bola en y ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle B_{1}(0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle Q_{0}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}=0\};}$

${\displaystyle Q_{+}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}>0\}.}$

Un dominio Lipschitz (fuertemente) es siempre un dominio Lipschitz débil, pero lo inverso no es cierto. Un ejemplo de dominio Lipschitz débil que no llega a ser un dominio Lipschitz fuerte es el dominio de dos bloques ^[1].

Aplicaciones de los dominios de Lipschitz

Muchos de los teoremas de incrustación de Sobolev requieren que el dominio de estudio sea un dominio de Lipschitz. En consecuencia, muchas ecuaciones diferenciales parciales y problemas variacionales se definen en dominios de Lipschitz.

Referencias

1. Werner Licht, M. "Proyecciones suavizadas sobre dominios de Lipschitz débilmente", arXiv , 2016.

• Dacorogna, B. (2004). Introducción al cálculo de variaciones . Imperial College Press, Londres. ISBN 1-86094-508-2.