Lista de ecuaciones de la mecánica clásica

La mecánica clásica es la rama de la física que se utiliza para describir el movimiento de objetos macroscópicos . ^[1] Es la más conocida de las teorías de la física. Los conceptos que abarca, como masa , aceleración y fuerza , son de uso común y conocidos. ^[2] La materia se basa en un espacio euclidiano tridimensional con ejes fijos, llamado marco de referencia. El punto de concurrencia de los tres ejes se conoce como el origen del espacio particular. ^[3]

La mecánica clásica utiliza muchas ecuaciones (así como otros conceptos matemáticos ) que relacionan varias magnitudes físicas entre sí. Entre ellas se incluyen las ecuaciones diferenciales , las variedades , los grupos de Lie y la teoría ergódica . ^[4] En este artículo se ofrece un resumen de las más importantes.

Este artículo enumera ecuaciones de la mecánica newtoniana ; consulte mecánica analítica para la formulación más general de la mecánica clásica (que incluye la mecánica lagrangiana y hamiltoniana ).

Mecánica clásica

Masa e inercia

Magnitudes cinemáticas derivadas

Magnitudes cinemáticas de una partícula clásica: masa m , posición r , velocidad v , aceleración a .

Magnitudes dinámicas derivadas

Momentos angulares de un objeto clásico.

Izquierda: el momento angular intrínseco de "espín" S es en realidad el momento angular orbital del objeto en cada punto,

derecha: momento angular orbital extrínseco L alrededor de un eje,

arriba: el tensor del momento de inercia I y la velocidad angular ω ( L no siempre es paralela a ω ) ^[6]

abajo: momento p y su posición radial r con respecto al eje.

El momento angular total (espín + orbital) es J .

Definiciones generales de energía

Toda fuerza conservativa tiene una energía potencial . Siguiendo dos principios se puede asignar de forma consistente un valor no relativo a U :

• Dondequiera que la fuerza sea cero, su energía potencial también se define como cero.
• Siempre que la fuerza actúa, se pierde energía potencial.

Mecánica generalizada

Cinemática

En las siguientes definiciones de rotación, el ángulo puede ser cualquier ángulo con respecto al eje de rotación especificado. Es habitual utilizar θ , pero no tiene por qué ser el ángulo polar utilizado en los sistemas de coordenadas polares. El vector axial unitario

$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$

define el eje de rotación, = vector unitario en dirección de r , = vector unitario tangencial al ángulo. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$

Dinámica

Precesión

La velocidad angular de precesión de un trompo viene dada por:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}}$$

donde w es el peso del volante giratorio.

Energía

El trabajo mecánico realizado por un agente externo sobre un sistema es igual al cambio en la energía cinética del sistema:

Generalteorema de trabajo-energía(Traducción y rotación)

El trabajo realizado W por un agente externo que ejerce una fuerza F (en r ) y un torque τ sobre un objeto a lo largo de una trayectoria curva C es:

$${\displaystyle W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} \,{\mathrm {d} \theta }\right)}$$

donde θ es el ángulo de rotación alrededor de un eje definido por un vector unitario n .

Energía cinética

El cambio en la energía cinética de un objeto que inicialmente viaja a velocidad y luego a velocidad es: ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle \Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})}$$

Energía potencial elástica

Para un resorte estirado fijado en un extremo que obedece la ley de Hooke , la energía potencial elástica es

$${\displaystyle \Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}}$$

donde r ₂ y r ₁ son coordenadas colineales del extremo libre del resorte, en la dirección de la extensión/compresión, y k es la constante del resorte.

Ecuaciones de Euler para la dinámica de cuerpos rígidos

Euler también elaboró ​​leyes de movimiento análogas a las de Newton, véase Leyes de movimiento de Euler . Estas leyes amplían el alcance de las leyes de Newton a los cuerpos rígidos, pero son esencialmente las mismas que las anteriores. Una nueva ecuación que Euler formuló es: ^[10]

$${\displaystyle \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}}$$

donde I es el tensor del momento de inercia .

Movimiento plano general

Las ecuaciones anteriores para el movimiento plano se pueden utilizar aquí: los corolarios de momento, momento angular, etc. se pueden derivar inmediatamente aplicando las definiciones anteriores. Para cualquier objeto que se mueva en cualquier trayectoria en un plano,

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}}$$

Los siguientes resultados generales se aplican a la partícula.

Movimiento de fuerza central

Para un cuerpo masivo que se mueve en un potencial central debido a otro objeto, que depende únicamente de la separación radial entre los centros de masas de los dos objetos, la ecuación de movimiento es:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )}$$

Ecuaciones de movimiento (aceleración constante)

Estas ecuaciones se pueden utilizar únicamente cuando la aceleración es constante. Si la aceleración no es constante, se deben utilizar las ecuaciones de cálculo general anteriores, que se obtienen integrando las definiciones de posición, velocidad y aceleración (véase más arriba).

Transformaciones del marco galileano

Para la mecánica clásica (galileo-newtoniana), la ley de transformación de un marco inercial o acelerado (incluida la rotación) (marco de referencia que viaja a velocidad constante, incluido el cero) a otro es la transformada galileana.

Las cantidades no primadas se refieren a la posición, velocidad y aceleración en un sistema F; las cantidades primadas se refieren a la posición, velocidad y aceleración en otro sistema F' que se mueve a velocidad de traslación V o velocidad angular Ω relativa a F. Por el contrario, F se mueve a velocidad (— V o — Ω ) relativa a F'. La situación es similar para las aceleraciones relativas.

Osciladores mecánicos

SHM, DHM, SHO y DHO se refieren a movimiento armónico simple, movimiento armónico amortiguado, oscilador armónico simple y oscilador armónico amortiguado respectivamente.

Véase también

• Lista de fórmulas de física
• Definición de ecuación (química física)
• Ecuación constitutiva
• Mecánica
• Óptica
• Electromagnetismo
• Termodinámica
• Acústica
• Isaac Newton
• Lista de ecuaciones de la teoría ondulatoria
• Lista de ecuaciones relativistas
• Lista de ecuaciones de mecánica de fluidos
• Lista de ecuaciones de gravitación
• Lista de ecuaciones de electromagnetismo
• Lista de ecuaciones fotónicas
• Lista de ecuaciones de la mecánica cuántica
• Lista de ecuaciones en física nuclear y de partículas

Notas

1. Mayer, Sussman y Wisdom 2001, pág. xiii
2. Berkshire & Kibble 2004, pág. 1
3. Berkshire y Kibble 2004, pág. 2
4. Arnold 1989, pág.
5. "Sección: Momentos y centro de masa".
6. RP Feynman; RB Leighton; M. Sands (1964). Feynman's Lectures on Physics (volumen 2) . Addison-Wesley. págs. 31-7. ISBN 978-0-201-02117-2.
7. "Relatividad, JR Forshaw 2009"
8. "Mecánica, D. Kleppner 2010"
9. "Relatividad, JR Forshaw 2009"
10. "Relatividad, JR Forshaw 2009"

Referencias

• Arnold, Vladimir I. (1989), Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-96890-2
• Berkshire, Frank H. ; Kibble, TWB (2004), Mecánica clásica (5.ª ed.), Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-435-2
• Mayer, Meinhard E.; Sussman, Gerard J.; Wisdom, Jack (2001), Estructura e interpretación de la mecánica clásica , MIT Press, ISBN 978-0-262-19455-6