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Punto límite (geometría)

Los dos puntos donde se cruzan los círculos rojos son los puntos límite de cada par de círculos azules.

En geometría, los puntos límites de dos círculos disjuntos A y B en el plano euclidiano son puntos p que pueden definirse por cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:

El punto medio de los dos puntos límite es el punto donde el eje radical de A y B cruza la línea que pasa por sus centros. Este punto de intersección tiene la misma distancia de potencia que todos los círculos en el lápiz que contienen a A y B. Los puntos límite se pueden encontrar a esta distancia a cada lado del punto de intersección, en la línea que pasa por los dos centros de los círculos. A partir de este hecho, es sencillo construir los puntos límite algebraicamente o con compás y regla . [4] Weisstein da una fórmula explícita que expresa los puntos límite como la solución de una ecuación cuadrática en las coordenadas de los centros de los círculos y sus radios. [5]

La inversión de uno de los dos puntos límite a través de A o B produce el otro punto límite. Una inversión centrada en un punto límite asigna el otro punto límite al centro común de los círculos concéntricos. [6]

Referencias

  1. ^ Coolidge, Julian Lowell (1916), Un tratado sobre el círculo y la esfera , Oxford Clarendon Press, pág. 97.
  2. ^ Esto se desprende de la definición de lápiz, junto con el hecho de que cada lápiz tiene un lápiz ortogonal único; véase Schwerdtfeger, Hans (1979), Geometría de números complejos , Dover, Corolario, pág. 31.
  3. ^ Schwerdtfeger (1979), Ejemplo 2, pág. 32.
  4. ^ Johnstone, John K. (1993), "Un nuevo algoritmo de intersección para ciclidos y superficies barridas utilizando descomposición circular" (PDF) , Computer Aided Geometric Design , 10 (1): 1–24, doi :10.1016/0167-8396(93)90049-9, MR  1202965.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Punto límite". MathWorld .
  6. ^ Godfrey, C.; Siddons, AW (1908), Geometría moderna, University Press, Ex. 473, pág. 109, OL  6525169M.