Identidad de Li Shanlan

En matemáticas , en combinatoria , la identidad de Li Shanlan (también llamada fórmula de suma de Li Shanlan ) es una cierta identidad combinatoria atribuida al matemático chino del siglo XIX Li Shanlan . ^[1] Dado que Li Shanlan también es conocido como Li Renshu (su nombre de cortesía ), esta identidad también se conoce como la identidad de Li Renshu . ^[2] Esta identidad aparece en el tercer capítulo de Duoji bilei (垛积比类 / 垛積比類, que significa suma de series finitas ), un texto matemático escrito por Li Shanlan y publicado en 1867 como parte de sus obras completas. Un matemático checo Josef Kaucky publicó una prueba elemental de la identidad junto con una historia de la identidad en 1964. ^[3] Kaucky atribuyó la identidad a un tal Li Jen-Shu. A partir del relato de la historia de la identidad, se ha comprobado que Li Jen-Shu es de hecho Li Shanlan. ^[1] Los académicos occidentales habían estado estudiando las matemáticas chinas por su valor histórico; pero la atribución de esta identidad a un matemático chino del siglo XIX provocó un replanteamiento del valor matemático de los escritos de los matemáticos chinos. ^[2]

La identidad

La identidad de Li Shanlan establece que

${\displaystyle \sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}={{n+p} \choose p}^{2}}$.

Li Shanlan no presentó la identidad de esta manera, sino a la manera algorítmica y retórica tradicional china. ^[4]

Pruebas de la identidad

Li Shanlan no había dado una prueba de la identidad en Duoji bilei . La primera prueba que utilizó ecuaciones diferenciales y polinomios de Legendre, conceptos ajenos a Li, fue publicada por Pál Turán en 1936, y la prueba apareció en chino en el artículo de Yung Chang publicado en 1939. ^[2] Desde entonces se han encontrado al menos quince pruebas diferentes. ^[2] La siguiente es una de las pruebas más simples. ^[5]

La prueba comienza expresándose como convolución de Vandermonde : ${\displaystyle n \choose q}$

${\displaystyle {n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{{n-p} \choose k}{p \choose {q-k}}}$

Premultiplicando ambos lados por , ${\displaystyle n \choose p}$

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{n \choose p}{{n-p} \choose k}{p \choose {q-k}}}$.

Utilizando la siguiente relación

${\displaystyle {n \choose p}{{n-p} \choose k}={{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}}$

La relación anterior se puede transformar en

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{p \choose {q-k}}{{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}}$.

A continuación la relación

${\displaystyle {p \choose {q-k}}{{p+k} \choose {k}}={q \choose k}{{p+k} \choose {q}}}$

se utiliza para obtener

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{{p+k} \choose q}}$.

Otra aplicación de la convolución de Vandermonde produce

${\displaystyle {{p+k} \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {q-j}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {q-j}}}$

Dado que es independiente de k , esto se puede expresar en la forma ${\displaystyle p \choose j}$

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{k \choose {q-j}}}$

A continuación, el resultado

${\displaystyle {q \choose k}{k \choose {q-j}}={q \choose j}{j \choose {q-k}}}$

da

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose j}{j \choose {q-k}}{n \choose {p+k}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}\sum _{k=0}^{q}{j \choose {q-k}}{n \choose {p+k}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}{{n+j} \choose {p+q}}}$

Estableciendo p = q y reemplazando j por k ,

${\displaystyle {n \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+k} \choose {2p}}}$

La identidad de Li se deduce de esto reemplazando n por n + p y haciendo algún reordenamiento de términos en la expresión resultante:

${\displaystyle {{n+p} \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}}$

EnDuoji Bilei

El término duoji denota un cierto método tradicional chino de calcular sumas de pilas. La mayor parte de las matemáticas que se desarrollaron en China desde el siglo XVI están relacionadas con el método duoji . Li Shanlan fue uno de los mayores exponentes de este método y Duoji bilei es una exposición de su trabajo relacionado con este método. Duoji bilei consta de cuatro capítulos: el capítulo 1 trata de pilas triangulares, el capítulo 2 de series de potencias finitas, el capítulo 3 de pilas triangulares automultiplicantes y el capítulo 4 de pilas triangulares modificadas. ^[6]

Referencias

1. Jean-Claude Martzloff (1997). Una historia de las matemáticas chinas . Heidelberg, Berlín: Springer Verlag. pp. 342-343. ISBN 9783540337829.
2. Karen VH Parshall, Jean-Claude Martzloff (septiembre de 1992). "Li Shanlan (1811–1882) y las matemáticas tradicionales chinas". The Mathematical Intelligencer . 14 (4): 32–37. doi :10.1007/bf03024470. S2CID  123468479.
3. Josef Kaucký (1965). "Una nueva demostración elemental de la fórmula combinatoria de Li Jen Shu". M.-Fuzik. Cas. . 15 : 206–214.
4. Bréard, Andrea (2013). "China". En Robin Wilson, John J. Watkins (ed.). Combinatoria: antigua y moderna . Oxford: OUP. págs. 78-79. ISBN 9780191630637.
5. John Riordan (1979). Identidades combinatorias . Nueva York: Robert E Krieger Publishing Company. pp. 15-16. ISBN. 0882758292.
6. Tian Miao (2003). "La occidentalización de las matemáticas chinas: el estudio de caso del método Duoji y su desarrollo". Ciencia, tecnología y medicina de Asia oriental . 20 : 45–72. doi :10.1163/26669323-02001004.