leyes de lanchester

Fórmulas para las fuerzas relativas de las fuerzas militares.

Las leyes de Lanchester son fórmulas matemáticas para calcular las fuerzas relativas de las fuerzas militares . Las ecuaciones de Lanchester son ecuaciones diferenciales que describen la dependencia del tiempo de las fortalezas de dos ejércitos, A y B, en función del tiempo, y la función depende únicamente de A y B. ^{[1] [2]}

En 1915 y 1916, durante la Primera Guerra Mundial , M. Osipov ^{[3] : vii-viii} y Frederick Lanchester idearon de forma independiente una serie de ecuaciones diferenciales para demostrar las relaciones de poder entre fuerzas opuestas. ^[4] Entre ellas se encuentran lo que se conoce como ley lineal de Lanchester (para el combate antiguo ) y ley cuadrada de Lanchester (para el combate moderno con armas de largo alcance como las armas de fuego).

A partir de 2017, las variaciones modificadas de las ecuaciones de Lanchester continúan formando la base del análisis en muchas de las simulaciones de combate del ejército de EE. UU., ^[5] y en 2016 un informe de RAND Corporation examinó mediante estas leyes el resultado probable en caso de una invasión rusa en las naciones bálticas de Estonia, Letonia y Lituania. ^[6]

Ley lineal de Lanchester

En los combates antiguos, entre falanges de soldados con lanzas , por ejemplo, un soldado sólo podía luchar exactamente contra otro soldado a la vez. Si cada soldado mata, y es asesinado, exactamente por otro, entonces el número de soldados que quedan al final de la batalla es simplemente la diferencia entre el ejército más grande y el más pequeño, suponiendo armas idénticas.

La ley lineal también se aplica al fuego sin objetivo contra un área ocupada por el enemigo. La tasa de desgaste depende de la densidad de los objetivos disponibles en el área objetivo, así como del número de armas disparadas. Si dos fuerzas, que ocupan la misma superficie terrestre y utilizan las mismas armas, disparan aleatoriamente hacia la misma zona objetivo, ambas sufrirán la misma tasa y número de bajas, hasta que la fuerza más pequeña sea finalmente eliminada: mayor probabilidad de cualquier disparo. Golpear con mayor fuerza se equilibra con el mayor número de disparos dirigidos a la fuerza menor.

ley del cuadrado de Lanchester

La ley del cuadrado de Lanchester también se conoce como ley del N-cuadrado .

Descripción

Simulación idealizada de dos fuerzas que se dañan entre sí ignorando todas las demás circunstancias además de 1) Tamaño del ejército 2) Tasa de daño. La imagen ilustra el principio de la ley del cuadrado de Lanchester.

Dado que las armas de fuego se enfrentan entre sí directamente con disparos dirigidos desde la distancia, pueden atacar múltiples objetivos y recibir fuego desde múltiples direcciones. La tasa de desgaste ahora depende sólo del número de armas disparadas. Lanchester determinó que el poder de tal fuerza es proporcional no al número de unidades que tiene, sino al cuadrado del número de unidades. Esto se conoce como ley del cuadrado de Lanchester.

Más precisamente, la ley especifica las bajas que una fuerza de tiro infligirá durante un período de tiempo, en relación con las infligidas por la fuerza contraria. En su forma básica, la ley sólo es útil para predecir resultados y bajas por desgaste. No se aplica a ejércitos enteros, donde el despliegue táctico significa que no todas las tropas estarán comprometidas todo el tiempo. Sólo funciona cuando cada unidad (soldado, barco, etc.) puede matar sólo una unidad equivalente a la vez. Por esta razón, la ley no se aplica a las ametralladoras, la artillería con munición no guiada ni las armas nucleares. La ley requiere la suposición de que las bajas se acumulan con el tiempo: no funciona en situaciones en las que las tropas enemigas se matan entre sí instantáneamente, ya sea disparando simultáneamente o cuando un lado dispara el primer tiro e inflige múltiples bajas.

Tenga en cuenta que la ley del cuadrado de Lanchester no se aplica a la fuerza tecnológica, sólo a la fuerza numérica; por lo que requiere un aumento de N veces al cuadrado en la calidad para compensar una disminución de N veces en la cantidad.

Ecuaciones de ejemplo

Supongamos que dos ejércitos, el rojo y el azul, se enfrentan en combate. Red dispara un flujo continuo de balas a Blue. Mientras tanto, Blue dispara una ráfaga continua de balas a Red.

Sea el símbolo A el número de soldados de la fuerza Roja. Cada uno tiene potencia de fuego ofensiva α , que es el número de soldados enemigos que puede incapacitar (por ejemplo, matar o herir) por unidad de tiempo. Asimismo, Azul tiene soldados B , cada uno con potencia de fuego ofensiva β .

La ley del cuadrado de Lanchester calcula el número de soldados perdidos en cada bando utilizando el siguiente par de ecuaciones. ^[7] Aquí, dA/dt representa la velocidad a la que cambia el número de soldados rojos en un instante particular. Un valor negativo indica la pérdida de soldados. De manera similar, dB/dt representa la tasa de cambio del número de soldados azules.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=-\beta B}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} t}}=-\alpha A}$

La solución de estas ecuaciones muestra que:

• Si α = β , es decir, los dos bandos tienen la misma potencia de fuego, ganará el bando con más soldados al comienzo de la batalla;
• Si A = B , es decir, los dos bandos tienen el mismo número de soldados, ganará el bando con mayor potencia de fuego;
• Si A > B y α > β , entonces el rojo ganará, mientras que si A < B y α < β , ganará el azul;
• Si A > B pero α < β , o A < B pero α > β , el bando ganador dependerá de si la relación β / α es mayor o menor que el cuadrado de la relación A / B . Así, si los números y la potencia de fuego son desiguales en direcciones opuestas, para la victoria se requiere una superioridad en potencia de fuego igual al cuadrado de la inferioridad en números; o, para decirlo de otra manera, la eficacia del ejército aumenta proporcionalmente al cuadrado del número de personas que lo componen, pero sólo linealmente con su capacidad de lucha.

Las primeras tres de estas conclusiones son obvias. El último es el origen del nombre "ley del cuadrado".

Relación con el modelo de combate de salva

Las ecuaciones de Lanchester están relacionadas con las ecuaciones del modelo de combate de salva más recientes , con dos diferencias principales.

Primero, las ecuaciones originales de Lanchester forman un modelo de tiempo continuo, mientras que las ecuaciones de salva básicas forman un modelo de tiempo discreto. En un tiroteo, normalmente se disparan balas o proyectiles en grandes cantidades. Cada ronda tiene una probabilidad relativamente baja de alcanzar su objetivo y causa una cantidad relativamente pequeña de daño. Por lo tanto, las ecuaciones de Lanchester modelan los disparos como una corriente de potencia de fuego que debilita continuamente a la fuerza enemiga a lo largo del tiempo.

En comparación, los misiles de crucero suelen dispararse en cantidades relativamente pequeñas. Cada uno tiene una alta probabilidad de dar en el blanco y lleva una ojiva relativamente poderosa. Por lo tanto, tiene más sentido modelarlos como un pulso (o salva) discreto de potencia de fuego en un modelo de tiempo discreto.

En segundo lugar, las ecuaciones de Lanchester incluyen sólo potencia de fuego ofensiva, mientras que las ecuaciones de salva también incluyen potencia de fuego defensiva. Dado su pequeño tamaño y gran número, no es práctico interceptar balas y proyectiles en un tiroteo. En comparación, los misiles de crucero pueden ser interceptados (derribados) por misiles tierra-aire y cañones antiaéreos. Por eso es importante incluir esas defensas activas en un modelo de combate con misiles.

La ley de Lanchester en uso

Las leyes de Lanchester se han utilizado para modelar batallas históricas con fines de investigación. Los ejemplos incluyen la carga de Pickett de infantería confederada contra infantería de la Unión durante la batalla de Gettysburg de 1863 , ^[8] la batalla de Gran Bretaña de 1940 entre las fuerzas aéreas británica y alemana, ^[9] y la batalla de Kursk . ^[10]

En la guerra moderna, para tener en cuenta que, hasta cierto punto, tanto el lineal como el cuadrado se aplican a menudo, se utiliza un exponente de 1,5. ^{[11] [12] [3] : 7-5–7-8} Las leyes de Lanchester también se han utilizado para modelar la guerra de guerrillas . ^[13]

Se han realizado intentos de aplicar las leyes de Lanchester a los conflictos entre grupos de animales. ^[14] Los ejemplos incluyen pruebas con chimpancés ^[15] y hormigas . La aplicación en chimpancés fue relativamente exitosa. Un estudio de hormigas de carne australianas y hormigas argentinas confirmó la ley del cuadrado, ^[16] un estudio de hormigas bravas no confirmó la ley del cuadrado. ^[17]

Parámetros de Helmbold

Los parámetros de Helmbold proporcionan índices numéricos rápidos, concisos y exactos, sólidamente basados ​​en datos históricos, para comparar batallas con respecto a su amargura y el grado en que el bando tenía la ventaja. Si bien su definición se basa en una solución de las ecuaciones diferenciales de la Ley del Cuadrado de Lanchester, sus valores numéricos se basan enteramente en las fortalezas iniciales y finales de los oponentes y de ninguna manera dependen de la validez de la Ley del Cuadrado de Lanchester como modelo de desgaste durante la batalla. curso de una batalla.

La solución de la ley del cuadrado de Lanchester utilizada aquí se puede escribir como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a(t)&=\cosh(\lambda t)-\mu \sinh(\lambda t)\\d(t)&=\cosh(\lambda t)-\mu ^{-1}\sinh(\lambda t)\\\varepsilon &=\lambda T\end{aligned}}}$$

${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle d(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Si se conocen las resistencias inicial y final de los dos lados, es posible resolver los parámetros , , y . Si también se conoce la duración de la batalla, entonces es posible resolverlo . ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle a(T)}$ ${\displaystyle d(T)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda }$

Si, como suele ser el caso, es lo suficientemente pequeño como para que las funciones hiperbólicas puedan, sin ningún error significativo, ser reemplazadas por su expansión en serie hasta términos en la primera potencia de , y si adoptamos las siguientes abreviaturas para las fracciones de baja ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{A}&=1-a(T)\\F_{D}&=1-d(T)\end{aligned}}}$$

^[21]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &={\sqrt {F_{A}F_{D}}}\\\mu &=F_{A}/F_{D}\end{aligned}}}$$

media geométrica ${\displaystyle \varepsilon }$

Observamos aquí que para trabajos estadísticos es mejor utilizar los logaritmos naturales de los parámetros de Helmbold. Los llamaremos, en notación obvia, , y . ${\displaystyle \log \mu }$ ${\displaystyle \log \varepsilon }$ ${\displaystyle \log \lambda }$

Descubrimientos importantes

Véase Helmbold (2021):

1. Los parámetros de Helmbold y son estadísticamente independientes, es decir, miden distintas características de una batalla. ^[22] ${\displaystyle \log \varepsilon }$ ${\displaystyle \log \mu }$
2. La probabilidad de que gane el defensor, P(Dwins), está relacionada con el parámetro de ventaja del defensor mediante la función logística , P(Dwins) = 1 / (1 + exp(-z)), con z = -0,1794 + 5,8694 * logmu . ^[23] Esta función logística es casi exactamente asimétrica con respecto a logmu = 0, aumentando desde P(Dwins) = 0,1 en logmu = -0,4, hasta P(DWins) = 0,5 en logmu = 0, hasta P(Dwins) = 0,9 en logmu = +0,4. Debido a que la probabilidad de victoria depende del parámetro de ventaja de Helmbold más que de la proporción de fuerzas, está claro que la proporción de fuerzas es un predictor inferior y poco confiable de la victoria en la batalla.
3. Si bien la ventaja del defensor varía mucho de una batalla a otra, en promedio ha sido prácticamente constante desde 1600 EC. ^[24]
4. La mayoría de los demás parámetros de la batalla (específicamente la fuerza de las fuerzas iniciales, las proporciones de fuerzas iniciales, el número de bajas, las proporciones de intercambio de bajas, la duración de la batalla y las distancias avanzadas por el atacante) han cambiado tan lentamente desde 1600 CE que sólo los observadores más agudos probablemente se darían cuenta. No notan ningún cambio en su carrera militar nominal de 50 años. ^[25]
5. La amargura ( ), las fracciones de bajas ( y en la notación anterior) y la intensidad ( ) también cambiaron lentamente antes de 1939 EC. Pero desde entonces han seguido una curva descendente sorprendentemente más pronunciada. ^[26] ${\displaystyle \log \varepsilon }$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{D}}$ ${\displaystyle \log \lambda }$

Algunos observadores han notado una disminución similar de las bajas después de la Segunda Guerra Mundial a nivel de guerras en lugar de batallas. ^{[27] [28] [29] [30]}

Ver también

• Guerra de desgaste
• Ecuaciones de Lotka-Volterra modelo matemático similar para la dinámica depredador-presa
• guerra de maniobras
• Modelo matemático similar al multiplicador de Petrie para el sexismo
• Lewis Richardson
• modelo de combate salva

Referencias

1. Lanchester FW, Matemáticas en la guerra en el mundo de las matemáticas, vol. 4 (1956) ed. Newman, JR , Simon y Schuster , 2138–2157; antología de Aircraft in Warfare (1916)
2. Davis, Paul K. (1995). "Ecuaciones de Lanchester y sistemas de puntuación". Agregación, desagregación y las reglas 3:1 en el combate terrestre. Corporación Rand. doi :10.7249/MR638.
3. Osipov, M. (1991) [1915]. "La influencia de la fuerza numérica de las fuerzas enfrentadas en sus bajas" Влияние Численности Сражающихся Сторонъ На Ихъ Потери (PDF) . Colección militar del diario ruso zarista Военный Сборник. Traducido por Helmbold, Robert; Rehm, Allan. Agencia de Análisis de Conceptos del Ejército de EE. UU. Archivado (PDF) desde el original el 4 de noviembre de 2021 . Consultado el 23 de enero de 2022 .
4. Wrigge, Staffan; Fransen, Ame; Wigg, Lars (septiembre de 1995). "La teoría del combate de Lanchester y algunos temas relacionados" (PDF) . FORSVARETS FORSKNINGSANSTALT.
5. Christian, MAJ Joshua T. (23 de mayo de 2019). Un examen de las relaciones de fuerza (PDF) . Fort Leavenworth, KS: Escuela de Comando y Estado Mayor del Ejército de EE. UU. Este artículo incorpora material de dominio público de sitios web o documentos del ejército de los Estados Unidos .
6. David A. Shlapak y Michael W. Johnson, Reforzando la disuasión en el flanco oriental de la OTAN (Santa Mónica, CA: RAND Corporation, 2016)
7. Taylor JG. 1983. Modelos de guerra de Lanchester, volúmenes I y II. Sociedad de Investigación de Operaciones de América.
8. Armstrong MJ, Sodergren SE, 2015, Refighting Pickett's Charge: modelado matemático del campo de batalla de la Guerra Civil, Social Science Quarterly.
9. MacKay N, Price C, 2011, Seguridad en números: ideas de concentración en la defensa de los cazas de la Royal Air Force desde Lanchester hasta la Batalla de Gran Bretaña, Historia 96, 304–325.
10. Lucas, Thomas W.; Turkes, Turker (2004). "Ajustar las ecuaciones de Lanchester a las batallas de Kursk y las Ardenas: ecuaciones de Lanchester para las batallas de Kursk y las Ardenas". Logística de Investigación Naval (NRL) . 51 (1): 95-116. doi :10.1002/nav.10101. S2CID  4809135.
11. Carrera hacia el veloz: reflexiones sobre la guerra del siglo XXI por Richard E. Simpkin
12. FOWLER, CHARLES A. "BERT" (1 de marzo de 2006). "Guerra asimétrica: introducción".
13. Deitchman, SJ (1962). "Un modelo de guerra de guerrillas de Lanchester". La investigación de operaciones . 10 (6): 818–827. doi :10.1287/opre.10.6.818. ISSN  0030-364X. JSTOR  168104.
14. Clifton, E. (2020). Una breve reseña sobre la aplicación de los modelos de combate de Lanchester en animales no humanos. Psicología Ecológica, 32, 181-191. doi:10.1080/10407413.2020.1846456
15. Wilson, ML, Britton, NF y Franks, NR (2002). Los chimpancés y las matemáticas de la batalla. Actas de la Royal Society B: Ciencias Biológicas, 269, 1107-1112. doi:10.1098/rspb.2001.1926
16. Lymbery, Samuel J. (2023). "Los campos de batalla complejos favorecen a los soldados fuertes sobre los grandes ejércitos en la guerra social animal". PNAS . 120 (37): e2217973120. Código Bib : 2023PNAS..12017973L. doi :10.1073/pnas.2217973120. PMC 10500280 . PMID  37639613 . Consultado el 18 de septiembre de 2023 . 
17. Plowes, NJR y Adams, ES (2005). Una prueba empírica de la ley del cuadrado de Lanchester: mortalidad durante las batallas de la hormiga de fuego Solenopsis invicta. Actas de la Royal Society B: Ciencias Biológicas, 272, 1809-1814. doi:10.1098/rspb.2005.3162
18. Helmbold 1961a.
19. Helmbold 1961b.
20. Helmbold 2021, págs. aplicación A.
21. Helmbold 2021, págs. 14-16, aplicación A.
22. Helmbold 2021, págs. 18-19.
23. Helmbold 2021, págs. 17-18.
24. Helmbold 2021, págs.20, 68–69.
25. Helmbold 2021, págs.20, aplicación C.
26. Helmbold 2021, págs.21, aplicación C parte 4.
27. Lacina, Bethany y Nils Petter Gleditsch (2005) "Seguimiento de tendencias en combate global: un nuevo conjunto de datos sobre muertes en batalla", Journal of Population (2005) 21:145-166
28. Lacina, Bethany, Nils Petter Gleditsch y Bruce Russett (2006) "La disminución del riesgo de muerte en la batalla", International Studies Quyarterly 50(3), 673-680
29. Lacina, Bethany y Nils Petter Gleditsch, (2012) Revista de resolución de conflictos 57 (6) 1109-1127
30. Lacina, Bethany y Nils Petter Gleditsch, (2012) "La disminución de la guerra es real: una respuesta a Gohdes y Price", Revista de resolución de conflictos

Bibliografía

• Czarnecki, José. Ley de N-cuadrado: un examen de una de las teorías matemáticas detrás del acorazado Dreadnought Armas navales del mundo
• Dupuy, Coronel TN (1979). Números, predicciones y guerra . Macdonald y Jane.
• Helmbold, Robert L. (14 de febrero de 1961a). Parámetros de Lanchester para algunas batallas de los últimos doscientos años . Documento del personal de CORG CORG-SP-122.
• Helmbold, Robert L. (1961b). "Ecuaciones, batallas históricas y juegos de guerra de Lanchester". Actas del Octavo Simposio de la Sociedad de Investigación de Operaciones Militares, 18 a 20 de octubre de 1961 .
• Helmbold, Robert L. (12 de mayo de 2021). La clave de la victoria: el aprendizaje automático de las lecciones de la historia . ISBN 9781668525289.
• Lanchester, Federico W. (1916). Aviones en guerra.
• Modelos de combate de Niall J. MacKay Lanchester, Mathematics Today , 2006, Vol 42/5, páginas 170–173.

enlaces externos

• "Kicking Butt By the Numbers: Lanchester's Laws", una columna de Designer's Notebook de Ernest Adams en la revista web Gamasutra