Ley de las tangentes

Relaciona las tangentes de dos ángulos de un triángulo y las longitudes de los lados opuestos.

Figura 1 – Un triángulo. Los ángulos α , β y γ son respectivamente opuestos a los lados a , b y c .

En trigonometría , la ley de las tangentes o regla de la tangente ^[1] es una afirmación sobre la relación entre las tangentes de dos ángulos de un triángulo y las longitudes de los lados opuestos.

En la Figura 1, a , b y c son las longitudes de los tres lados del triángulo, y α , β y γ son los ángulos opuestos a esos tres lados respectivos. La ley de las tangentes establece que

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.}$

La ley de las tangentes, aunque no es tan conocida como la ley de los senos o la ley de los cosenos , es equivalente a la ley de los senos y se puede utilizar en cualquier caso en el que se conozcan dos lados y el ángulo incluido, o dos ángulos y un lado.

Prueba

Para demostrar la ley de las tangentes se puede empezar con la ley de los senos :

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}=d,}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle d}$ es el diámetro del círculo circunscrito , de modo que ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=d\sin \alpha }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle b=d\sin \beta }$ .

Resulta que

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}$

Utilizando la identidad trigonométrica , la fórmula del factor para senos específicamente

${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha \mp \beta ),}$

Nosotros conseguimos

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}{\Bigg /}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.}$

Como alternativa al uso de la identidad para la suma o diferencia de dos senos, se puede citar la identidad trigonométrica

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}$

(ver fórmula del semiángulo tangente ).

Solicitud

La ley de las tangentes se puede utilizar para calcular los ángulos de un triángulo en el que se dan dos lados a y b y el ángulo encerrado γ .

De

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )={\frac {a-b}{a+b}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )={\frac {a-b}{a+b}}\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }$

calcular la diferencia de ángulos α − β = Δ ; Úselo para calcular β = (180° − γ − Δ )/2 y luego α = β + Δ .

Una vez que se calcula un ángulo opuesto a un lado conocido, el lado restante c se puede calcular utilizando la ley de los senos .

En la época anterior a la disponibilidad de calculadoras electrónicas, este método era preferible a una aplicación de la ley de cosenos c = √ a ² + b ² − 2 ab cos γ , ya que esta última ley requería una búsqueda adicional en una tabla de logaritmos para calcular la raíz cuadrada. En tiempos modernos, la ley de tangentes puede tener mejores propiedades numéricas que la ley de cosenos: si γ es pequeño y a y b son casi iguales, entonces una aplicación de la ley de cosenos conduce a una resta de valores casi iguales, lo que incurre en una cancelación catastrófica .

Versión esférica

En una esfera de radio unitario, los lados del triángulo son arcos de círculos máximos . Por consiguiente, sus longitudes se pueden expresar en radianes o en cualquier otra unidad de medida angular. Sean A , B , C los ángulos en los tres vértices del triángulo y a , b , c las longitudes respectivas de los lados opuestos. La ley esférica de las tangentes dice ^[2]

${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}.}$

Historia

La ley de las tangentes para triángulos planos fue descrita en el siglo XI por Ibn Muʿādh al-Jayyānī . ^[3]

La ley de las tangentes para triángulos esféricos fue descrita en el siglo XIII por el matemático persa Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), quien también presentó la ley de los senos para triángulos planos en su obra de cinco volúmenes Tratado sobre el cuadrilátero . ^{[3] [4]}

Cuadrilátero cíclico

Una generalización de la ley de las tangentes se aplica a un cuadrilátero cíclico . Denotemos las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos . Entonces: ^[5] ${\displaystyle \square ABCD.}$ ${\displaystyle |AB|=a,}$ ${\displaystyle |BC|=b,}$ ${\displaystyle |CD|=c,}$ ${\displaystyle |DA|=d}$ ${\displaystyle \angle {DAB}=\alpha ,}$ ${\displaystyle \angle {ABC}=\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(a-c)(b-d)}{(a+c)(b+d)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.\end{aligned}}}$

Esta fórmula se reduce a la ley de tangentes para un triángulo cuando . ${\displaystyle c=0}$

Véase también

• Ley de senos
• Ley de los cosenos
• Ley de cotangentes
• Fórmula de Mollweide
• Fórmula de la mitad del lado
• Fórmula del semiángulo tangente

Notas

1. Véase Eli Maor , Trigonometric Delights , Princeton University Press , 2002.
2. Daniel Zwillinger, Tablas y fórmulas matemáticas estándar del CRC , 32.ª edición, CRC Press, 2011, página 219.
3. Marie-Thérèse Debarnot (1996). "Trigonometría". En Rushdī Rāshid, Régis Morelon (ed.). Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe, volumen 2. Routledge. pág. 182. ISBN 0-415-12411-5.
4. Q. Mushtaq, JL Berggren (2002). "Trigonometría". En CE Bosworth, MSAsimov (ed.). Historia de las civilizaciones de Asia central, volumen 4, parte 2 . Motilal Banarsidass. pag. 190.ISBN​ 81-208-1596-3.
5. José García, Emmanuel Antonio (2024), "Una generalización de la ley de las tangentes", Revista de Matemáticas , 97 (3): 274–275. , consultado el 1 de mayo de 2024