En matemáticas , las conjeturas de Mersenne se refieren a la caracterización de un tipo de números primos llamados primos de Mersenne , es decir, números primos que son una potencia de dos menos uno.
La conjetura original, llamada conjetura de Mersenne , fue una afirmación de Marin Mersenne en su Cogitata Physico-Mathematica (1644; véase, por ejemplo, Dickson 1919) de que los números eran primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257, y eran compuestos para todos los demás enteros positivos n ≤ 257. Las primeras siete entradas de su lista ( para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19) ya habían demostrado ser primos por división de tanteo antes de la época de Mersenne; [1] solo las últimas cuatro entradas eran nuevas afirmaciones de Mersenne. Debido al tamaño de esos últimos números, Mersenne no los probó ni pudo probarlos todos, ni tampoco pudieron hacerlo sus pares en el siglo XVII. Finalmente, después de tres siglos y de la disponibilidad de nuevas técnicas como la prueba de Lucas-Lehmer , se determinó que la conjetura de Mersenne contenía cinco errores, a saber, dos entradas compuestas (las correspondientes a los primos n = 67, 257) y faltan tres primos (las correspondientes a los primos n = 61, 89, 107). La lista correcta para n ≤ 257 es: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.
Aunque la conjetura original de Mersenne es falsa, puede haber conducido a la Nueva Conjetura de Mersenne .
La nueva conjetura de Mersenne o conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para cualquier número natural impar p , si se cumplen dos de las siguientes condiciones, entonces también se cumple la tercera:
Si p es un número compuesto impar, entonces 2 p − 1 y (2 p + 1)/3 son ambos compuestos. Por lo tanto, sólo es necesario contrastar los primos para verificar la verdad de la conjetura.
Actualmente, existen nueve números conocidos para los cuales se cumplen las tres condiciones: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (secuencia A107360 en la OEIS ). Bateman et al. esperaban que ningún número mayor que 127 satisficiera las tres condiciones, y demostraron que heurísticamente ningún número mayor satisfaría siquiera dos condiciones, lo que haría que la Nueva Conjetura de Mersenne fuera trivialmente verdadera.
A partir de 2024 [actualizar], se conocen todos los primos de Mersenne hasta 2 57885161 − 1, y para ninguno de ellos se cumple la tercera condición, excepto para los recién mencionados. [2] [3] Los primos que satisfacen al menos una condición son
Obsérvese que los dos primos para los que la conjetura original de Mersenne es falsa (67 y 257) satisfacen la primera condición de la nueva conjetura (67 = 2 6 + 3, 257 = 2 8 + 1), pero no las otras dos. 89 y 107, que Mersenne omitió, satisfacen la segunda condición pero no las otras dos. Mersenne puede haber pensado que 2 p − 1 es primo solo si p = 2 k ± 1 o p = 4 k ± 3 para algún número natural k , pero si hubiera pensado que lo era " si y solo si " habría incluido 61.
La Nueva Conjetura de Mersenne puede considerarse un intento de rescatar la conjetura de Mersenne, que tiene siglos de antigüedad y es falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman, John Selfridge estuvo de acuerdo en que la Nueva Conjetura de Mersenne es "obviamente verdadera", ya que fue elegida para ajustarse a los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son extremadamente improbables. Puede considerarse más como una observación curiosa que como una cuestión abierta que necesita ser demostrada .
Prime Pages muestra que la nueva conjetura de Mersenne es verdadera para todos los números enteros menores o iguales a 30402457 [2] al enumerar sistemáticamente todos los primos para los que ya se sabe que se cumple una de las condiciones.
Lenstra , Pomerance y Wagstaff han conjeturado que hay infinitos primos de Mersenne y, más precisamente, que el número de primos de Mersenne menores que x se aproxima asintóticamente por
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . En otras palabras, el número de primos de Mersenne con exponente p menor que y es asintóticamente
Esto significa que, en promedio, debería haber alrededor de ≈ 5,92 primos p de un número dado de dígitos decimales tales que sea primo. La conjetura es bastante precisa para los primeros 40 primos de Mersenne, pero entre 2 20.000.000 y 2 85.000.000 hay al menos 12, [6] en lugar del número esperado, que es alrededor de 3,7.
De manera más general, el número de primos p ≤ y tales que es primo (donde a , b son números enteros coprimos , a > 1, − a < b < a , a y b no son ambas potencias r -ésimas perfectas para cualquier número natural r > 1, y −4 ab no es una cuarta potencia perfecta) es asintóticamente
donde m es el entero no negativo más grande tal que a y − b son ambos potencias 2 m -ésimas perfectas . El caso de los primos de Mersenne es un caso de ( a , b ) = (2, 1).
