Desigualdad de Lenglart

Desigualdad matemática

En la teoría matemática de la probabilidad, la desigualdad de Lenglart fue demostrada por Èrik Lenglart en 1977. ^[1] Las ligeras modificaciones posteriores también se denominan desigualdad de Lenglart.

Declaración

Sea X un proceso no negativo, continuo por la derecha, adaptado y sea G un proceso no negativo, continuo por la derecha, no decreciente, predecible tal que para cualquier tiempo de parada acotado . Entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X(\tau )\mid {\mathcal {F}}_{0}]\leq \mathbb {E} [G(\tau )\mid {\mathcal {F}}_{0}]<\infty }$ ${\displaystyle \tau }$

1. ${\displaystyle \forall c,d>0,\mathbb {P} \left(\sup _{t\geq 0}X(t)>c\,{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right)\leq {\frac {1}{c}}\mathbb {E} \left[\sup _{t\geq 0}G(t)\wedge d\,{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]+\mathbb {P} \left(\sup _{t\geq 0}G(t)\geq d\,{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right).}$
2. ${\displaystyle \forall p\in (0,1),\mathbb {E} \left[\left(\sup _{t\geq 0}X(t)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\leq c_{p}\mathbb {E} \left[\left(\sup _{t\geq 0}G(t)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right],{\text{ where }}c_{p}:={\frac {p^{-p}}{1-p}}.}$

Referencias

Citas

1. Lenglart 1977, Théorème I y Corollaire II, págs. 171-179

Fuentes generales

• Geiss, Sarah; Scheutzow, Michael (2021). "Nitidez de la desigualdad de dominación de Lenglart y una versión monótona y nítida". Comunicaciones electrónicas en probabilidad . 26 : 1–8. arXiv : 2101.10884 . doi :10.1214/21-ECP413. S2CID  231709277.
• Lenglart, Érik (1977). "Relación de dominación entre dos procesos". Anales del Instituto Henri Poincaré B. 13 (2): 171-179.
• Mehri, Sima; Scheutzow, Michael (2021). "Un lema de Gronwall estocástico y la correcta formulación de ecuaciones diferenciales de probabilidad dependientes de trayectorias impulsadas por ruido de martingala". Revista Latinoamericana de Probabilidad y Estadística Matemática . 18 : 193−209. arXiv : 1908.10646 . doi :10.30757/ALEA.v18-09. S2CID  201660248.
• Ren, Yaofeng; Schen, Jing (2012). "Una nota sobre las desigualdades de dominación y sus aplicaciones". Statist. Probab. Lett . 82 (6): 1160−1168. doi :10.1016/j.spl.2012.03.002.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano . Berlín: Springer. ISBN 3-540-64325-7.