Se dice que dos subconjuntos simples y están separados por una función continua si existe una función continua de en el intervalo unitario tal que para todos y para todos Cualquier función de este tipo se denomina función de Urysohn para y En particular , y son necesariamente disjuntos.
De ello se deduce que si dos subconjuntos y están separados por una función, entonces también lo están sus clausuras. También se deduce que si dos subconjuntos y están separados por una función, entonces y están separados por vecindades.
Un espacio normal es un espacio topológico en el que dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por vecindades. El lema de Urysohn establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por una función continua.
Los conjuntos y no necesitan estar separados con precisión por , es decir, no es necesario y garantizado que y para fuera de y Un espacio topológico en el que cada dos subconjuntos cerrados disjuntos y están separados con precisión por una función continua es perfectamente normal .
El lema de Urysohn ha llevado a la formulación de otras propiedades topológicas como la "propiedad de Tichonoff" y los "espacios completamente de Hausdorff". Por ejemplo, un corolario del lema es que los espacios T 1 normales son de Tichonoff .
Declaración formal
Un espacio topológico es normal si y sólo si, para dos subconjuntos cerrados disjuntos no vacíos y de existe una función continua tal que y
Boceto de prueba
La prueba se lleva a cabo aplicando repetidamente la siguiente caracterización alternativa de normalidad. Si es un espacio normal, es un subconjunto abierto de y es cerrado, entonces existe un espacio abierto y un espacio cerrado tales que .
Sean y subconjuntos cerrados disjuntos de . La idea principal de la prueba es aplicar repetidamente esta caracterización de normalidad a y , continuando con los nuevos conjuntos construidos en cada paso.
Los conjuntos que construimos están indexados por fracciones diádicas . Para cada fracción diádica , construimos un subconjunto abierto y un subconjunto cerrado de tal manera que:
y para todos ,
Para todos ,
Para , .
Intuitivamente, los conjuntos se expanden hacia afuera en capas desde :
Esta construcción se realiza por inducción matemática . Para el paso base, definimos dos conjuntos adicionales y .
Supongamos ahora que y que los conjuntos y ya se han construido para . Nótese que esto se satisface de manera vacía para . Como es normal, para cualquier , podemos encontrar un conjunto abierto y un conjunto cerrado tales que
Se verifican entonces las tres condiciones anteriores.
Una vez que tenemos estos conjuntos, definimos si para cualquier ; en caso contrario para cada , donde denota el ínfimo . Usando el hecho de que los racionales diádicos son densos , entonces no es demasiado difícil demostrar que es continuo y tiene la propiedad y Este paso requiere los conjuntos para funcionar.
El proyecto Mizar ha formalizado completamente y verificado automáticamente una prueba del lema de Urysohn en el archivo URYSOHN3.