Lema de Urysohn

Caracterización de espacios normales mediante funciones continuas

En topología , el lema de Urysohn es un lema que establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos subconjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua . ^[1]

El lema de Urysohn se utiliza habitualmente para construir funciones continuas con diversas propiedades en espacios normales. Es ampliamente aplicable ya que todos los espacios métricos y todos los espacios de Hausdorff compactos son normales. El lema se generaliza mediante el teorema de extensión de Tietze (y suele utilizarse en la demostración de este) .

El lema debe su nombre al matemático Pavel Samuilovich Urysohn .

Discusión

Dos conjuntos separados por barrios.

Se dice que dos subconjuntos y de un espacio topológico están separados por vecindades si hay vecindades de y de que son disjuntas. En particular , y son necesariamente disjuntas. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Se dice que dos subconjuntos simples y están separados por una función continua si existe una función continua de en el intervalo unitario tal que para todos y para todos Cualquier función de este tipo se denomina función de Urysohn para y En particular , y son necesariamente disjuntos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle f(b)=1}$ ${\displaystyle b\in B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

De ello se deduce que si dos subconjuntos y están separados por una función, entonces también lo están sus clausuras. También se deduce que si dos subconjuntos y están separados por una función, entonces y están separados por vecindades. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Un espacio normal es un espacio topológico en el que dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por vecindades. El lema de Urysohn establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por una función continua.

Los conjuntos y no necesitan estar separados con precisión por , es decir, no es necesario y garantizado que y para fuera de y Un espacio topológico en el que cada dos subconjuntos cerrados disjuntos y están separados con precisión por una función continua es perfectamente normal . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \neq 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

El lema de Urysohn ha llevado a la formulación de otras propiedades topológicas como la "propiedad de Tichonoff" y los "espacios completamente de Hausdorff". Por ejemplo, un corolario del lema es que los espacios T 1 normales son de Tichonoff .

Declaración formal

Un espacio topológico es normal si y sólo si, para dos subconjuntos cerrados disjuntos no vacíos y de existe una función continua tal que y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(A)=\{0\}}$ ${\displaystyle f(B)=\{1\}.}$

Boceto de prueba

Ilustración de los primeros conjuntos construidos como parte de la prueba.

La prueba se lleva a cabo aplicando repetidamente la siguiente caracterización alternativa de normalidad. Si es un espacio normal, es un subconjunto abierto de y es cerrado, entonces existe un espacio abierto y un espacio cerrado tales que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y\subseteq U\subseteq V\subseteq Z}$

Sean y subconjuntos cerrados disjuntos de . La idea principal de la prueba es aplicar repetidamente esta caracterización de normalidad a y , continuando con los nuevos conjuntos construidos en cada paso. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{\complement }}$

Los conjuntos que construimos están indexados por fracciones diádicas . Para cada fracción diádica , construimos un subconjunto abierto y un subconjunto cerrado de tal manera que: ${\displaystyle r\in (0,1)}$ ${\displaystyle U(r)}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$y para todos , ${\displaystyle V(r)\subseteq B^{\complement }}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle U(r)\subseteq V(r)}$Para todos , ${\displaystyle r}$
• Para , . ${\displaystyle r<s}$ ${\displaystyle V(r)\subseteq U(s)}$

Intuitivamente, los conjuntos se expanden hacia afuera en capas desde : ${\displaystyle U(r)}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}A&&&&&&&\subseteq &&&&&&&B^{\complement }\\A&&&\subseteq &&&\ U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&&&\subseteq &&&B^{\complement }\\A&\subseteq &U(1/4)&\subseteq &V(1/4)&\subseteq &U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&\subseteq &U(3/4)&\subseteq &V(3/4)&\subseteq &B^{\complement }\end{array}}}$

Esta construcción se realiza por inducción matemática . Para el paso base, definimos dos conjuntos adicionales y . ${\displaystyle U(1)=B^{\complement }}$ ${\displaystyle V(0)=A}$

Supongamos ahora que y que los conjuntos y ya se han construido para . Nótese que esto se satisface de manera vacía para . Como es normal, para cualquier , podemos encontrar un conjunto abierto y un conjunto cerrado tales que ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle U\left(k/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle V\left(k/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,2^{n}-1\}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in \left\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\right\}}$

${\displaystyle V\left({\frac {a}{2^{n}}}\right)\subseteq U\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq V\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq U\left({\frac {a+1}{2^{n}}}\right)}$

Se verifican entonces las tres condiciones anteriores.

Una vez que tenemos estos conjuntos, definimos si para cualquier ; en caso contrario para cada , donde denota el ínfimo . Usando el hecho de que los racionales diádicos son densos , entonces no es demasiado difícil demostrar que es continuo y tiene la propiedad y Este paso requiere los conjuntos para funcionar. ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$ ${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}.}$ ${\displaystyle V(r)}$

El proyecto Mizar ha formalizado completamente y verificado automáticamente una prueba del lema de Urysohn en el archivo URYSOHN3.

Véase también

• Calmante

Notas

1. Willard 1970 Sección 15.

Referencias

• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN. 0-486-43479-6.

Enlaces externos

• "Lema de Urysohn", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20