Teorema de multiplicación

Identidad obedecida por muchas funciones especiales relacionadas con la función gamma

En matemáticas , el teorema de la multiplicación es un tipo de identidad que obedecen muchas funciones especiales relacionadas con la función gamma . En el caso explícito de la función gamma, la identidad es un producto de valores; de ahí el nombre. Las diversas relaciones se derivan todas del mismo principio subyacente; es decir, la relación para una función especial se puede derivar de la de las demás, y es simplemente una manifestación de la misma identidad en diferentes formas.

Característica finita

El teorema de la multiplicación adopta dos formas comunes. En el primer caso, se suma o multiplica un número finito de términos para obtener la relación. En el segundo caso, se suma o multiplica un número infinito de términos. La forma finita ocurre típicamente solo para la función gamma y funciones relacionadas, para las cuales la identidad se deduce de una relación p-ádica sobre un cuerpo finito . Por ejemplo, el teorema de la multiplicación para la función gamma se deduce de la fórmula de Chowla–Selberg , que se deduce de la teoría de la multiplicación compleja . Las sumas infinitas son mucho más comunes y se deducen de relaciones cero características en la serie hipergeométrica.

A continuación se presentan en forma de tabla las distintas apariciones del teorema de multiplicación para características finitas; las relaciones de característica cero se dan más adelante. En todos los casos, n y k son números enteros no negativos. Para el caso especial de n  = 2, el teorema se conoce comúnmente como la fórmula de duplicación .

Función gamma: fórmula de Legendre

La fórmula de duplicación y el teorema de multiplicación para la función gamma son los ejemplos prototípicos. La fórmula de duplicación para la función gamma es

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

También se denomina fórmula de duplicación de Legendre ^[1] o relación de Legendre , en honor a Adrien-Marie Legendre . El teorema de la multiplicación es

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{\frac {1-2kz}{2}}\;\Gamma (kz)}$

para el entero k ≥ 1, y a veces se denomina fórmula de multiplicación de Gauss , en honor a Carl Friedrich Gauss . El teorema de multiplicación para las funciones gamma puede entenderse como un caso especial, para el carácter trivial de Dirichlet , de la fórmula de Chowla–Selberg .

Función seno

Para la función seno se aplican fórmulas de duplicación formalmente similares, que son consecuencias bastante simples de las identidades trigonométricas . Aquí tenemos la fórmula de duplicación

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{2}}\right)\right)={\frac {1}{2}}\sin(2\pi x)}$

y, de manera más general, para cualquier entero k , se tiene

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{k}}\right)\right)\cdots \sin \left(\pi \left(x+{\frac {k-1}{k}}\right)\right)=2^{1-k}\sin(k\pi x)}$

Función poligamma, números armónicos

La función poligamma es la derivada logarítmica de la función gamma y, por tanto, el teorema de multiplicación se vuelve aditivo, en lugar de multiplicativo:

${\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

para , y, para , se tiene la función digamma : ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

Las identidades poligammas se pueden utilizar para obtener un teorema de multiplicación para números armónicos .

Función zeta de Hurwitz

Porque la función zeta de Hurwitz generaliza la función poligamma a órdenes no enteros y, por tanto, obedece a un teorema de multiplicación muy similar:

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

¿Dónde está la función zeta de Riemann ? Este es un caso especial de ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle k^{s}\,\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta \left(s,z+{\frac {n}{k}}\right)}$

y

${\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z).}$

Las fórmulas de multiplicación para los caracteres no principales se pueden dar en forma de funciones L de Dirichlet .

Función zeta periódica

La función zeta periódica ^[2] a veces se define como

${\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}\left(e^{2\pi iq}\right)}$

donde Li _s ( z ) es el polilogaritmo . Obedece la fórmula de duplicación.

${\displaystyle 2^{1-s}F(s;q)=F\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right).}$

Como tal, es un vector propio del operador de Bernoulli con valor propio 2 ^{1− s} . El teorema de multiplicación es

${\displaystyle k^{1-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac {n}{k}}\right).}$

La función zeta periódica aparece en la fórmula de reflexión de la función zeta de Hurwitz, por lo que la relación que obedece y la relación zeta de Hurwitz difieren en el intercambio de  s  → 1− s .

Los polinomios de Bernoulli pueden obtenerse como un caso límite de la función zeta periódica, tomando s como un entero, y por lo tanto el teorema de multiplicación puede derivarse de lo anterior. De manera similar, sustituyendo  q  = log  z se obtiene el teorema de multiplicación para el polilogaritmo.

Polilogaritmo

La fórmula de duplicación toma la forma

${\displaystyle 2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2})=\operatorname {Li} _{s}(z)+\operatorname {Li} _{s}(-z).}$

La fórmula general de multiplicación tiene la forma de una suma de Gauss o una transformada de Fourier discreta :

${\displaystyle k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}\left(ze^{i2\pi n/k}\right).}$

Estas identidades se derivan de las de la función zeta periódica, tomando  z  = log  q .

Función de Kummer

La fórmula de duplicación para la función de Kummer es

${\displaystyle 2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)}$

y por lo tanto se asemeja al del polilogaritmo, pero torcido por  i .

Polinomios de Bernoulli

Para los polinomios de Bernoulli , los teoremas de multiplicación fueron dados por Joseph Ludwig Raabe en 1851:

${\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)}$

y para los polinomios de Euler ,

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=1,3,\dots }$

y

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=2,4,\dots .}$

Los polinomios de Bernoulli pueden obtenerse como un caso especial de la función zeta de Hurwitz, y por lo tanto las identidades se deducen de allí.

Mapa de Bernoulli

El mapa de Bernoulli es un modelo simple de un sistema dinámico disipativo que describe el efecto de un operador de desplazamiento sobre una cadena infinita de lanzamientos de moneda (el conjunto de Cantor ). El mapa de Bernoulli es una versión unilateral del mapa de Baker, estrechamente relacionado . El mapa de Bernoulli se generaliza a una versión k-ádica , que actúa sobre cadenas infinitas de k símbolos: este es el esquema de Bernoulli . El operador de transferencia correspondiente al operador de desplazamiento en el esquema de Bernoulli está dado por ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}}$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}\right)}$

Tal vez no sea sorprendente que los vectores propios de este operador estén dados por los polinomios de Bernoulli. Es decir, se tiene que

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}}$

Es el hecho de que los valores propios son los que marcan a este sistema como disipativo: para un sistema dinámico que preserva la medida y no disipativo , los valores propios del operador de transferencia se encuentran en el círculo unitario. ${\displaystyle k^{-m}<1}$

Se puede construir una función que obedezca el teorema de la multiplicación a partir de cualquier función totalmente multiplicativa . Sea totalmente multiplicativa; es decir, para cualquier número entero m , n . Defina su serie de Fourier como ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\exp(2\pi inx)}$

Suponiendo que la suma converge, de modo que existe g ( x ), entonces se tiene que obedece al teorema de la multiplicación; es decir, que

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}g\left({\frac {x+n}{k}}\right)=f(k)g(x)}$

Es decir, g ( x ) es una función propia del operador de transferencia de Bernoulli, con valor propio f ( k ). El teorema de multiplicación para los polinomios de Bernoulli se deduce entonces como un caso especial de la función multiplicativa . Los caracteres de Dirichlet son completamente multiplicativos y, por lo tanto, se pueden utilizar fácilmente para obtener identidades adicionales de esta forma. ${\displaystyle f(n)=n^{-s}}$

Característica cero

El teorema de la multiplicación sobre un cuerpo de característica cero no se cierra después de un número finito de términos, sino que requiere una serie infinita para expresarse. Algunos ejemplos incluyen el de la función de Bessel : ${\displaystyle J_{\nu }(z)}$

${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$

donde y pueden tomarse como números complejos arbitrarios. Tales identidades de característica cero se deducen generalmente de una de las muchas identidades posibles en la serie hipergeométrica. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nu }$

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Fórmula de duplicación legendaria". MundoMatemático .
2. Apostol, Introducción a la teoría analítica de números , Springer

Referencias

• Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ( Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas ), (1972) Dover, Nueva York. (Los teoremas de multiplicación se enumeran individualmente capítulo por capítulo)
• C. Truesdell, "Sobre los teoremas de adición y multiplicación para las funciones especiales", Actas de la Academia Nacional de Ciencias, Matemáticas , (1950) págs. 752–757.