Integración Lebesgue-Stieltjes

En el análisis de la teoría de la medida y en ramas relacionadas de las matemáticas , la integración de Lebesgue-Stieltjes generaliza tanto la integración de Riemann-Stieltjes como la de Lebesgue , conservando las numerosas ventajas de la primera en un marco de teoría de la medida más general. La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral de Lebesgue ordinaria con respecto a una medida conocida como medida de Lebesgue-Stieltjes, que puede asociarse a cualquier función de variación acotada en la línea real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida de Borel regular y, a la inversa, toda medida de Borel regular en la línea real es de este tipo.

Las integrales de Lebesgue-Stieltjes , llamadas así por Henri Leon Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes , también se conocen como integrales de Lebesgue-Radon o simplemente integrales de Radon , en honor a Johann Radon , a quien se debe gran parte de la teoría. Tienen una aplicación común en los procesos de probabilidad y estocásticos , y en ciertas ramas del análisis , incluida la teoría del potencial .

Definición

La integral de Lebesgue-Stieltjes

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

se define cuando es Borel - medible y acotado y es de variación acotada en $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ y continua por la derecha, o cuando $f$ es no negativa y $g$ es monótona y continua por la derecha . Para empezar, supongamos que $f$ es no negativa y $g$ es monótona no decreciente y continua por la derecha. Defina $w$ $(($ $s$ $,$ $t$ $]) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ y $w$ $({$ $a$ $}) = 0$ (Alternativamente, la construcción funciona para $g$ continua por la izquierda, $w$ $([$ $s$ $,$ $t$ $)) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ y $w$ $({$ $b$ $}) = 0$ ). $f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$ $g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$

Por el teorema de extensión de Carathéodory , existe una única medida de Borel $μ g$ en $[a, b]$ que concuerda con $w$ en cada intervalo $I$ . La medida $μ g$ surge de una medida externa (de hecho, una medida externa métrica ) dada por

\mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subseteq \bigcup _{i}I_{i}\right\}

el ínfimo tomado sobre todos los recubrimientos de $E$ por un número contable de intervalos semiabiertos. Esta medida a veces se denomina ^[1] la medida de Lebesgue–Stieltjes asociada con $g$ .

La integral de Lebesgue-Stieltjes

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

se define como la integral de Lebesgue de $f$ con respecto a la medida $μ$ $g$ de la forma habitual. Si $g$ no es creciente, entonces defina

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),

La última integral está definida por la construcción precedente.

Si $g$ tiene una variación acotada, entonces es posible escribir

g(x)=g_{1}(x)-g_{2}(x)

donde $g 1 (x) = V x un g$ es la variación total de $g$ en el intervalo $[a, x]$ y $g 2 (x) = g 1 (x) - g (x)$ . Tanto $g 1$ como $g 2$ son monótonas no decrecientes.

Ahora bien, si $f$ está acotada, la integral de Lebesgue-Stieltjes de f con respecto a $g$ se define por

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),

donde las dos últimas integrales están bien definidas por la construcción anterior.

Integral de Daniell

Un enfoque alternativo (Hewitt y Stromberg 1965) es definir la integral de Lebesgue-Stieltjes como la integral de Daniell que extiende la integral habitual de Riemann-Stieltjes. Sea $g$ una función continua por la derecha no decreciente en $[a, b]$ , y defina $I (f)$ como la integral de Riemann-Stieltjes

I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

para todas las funciones continuas $f$ . La función $I$ define una medida de Radon en $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . Esta función puede extenderse a la clase de todas las funciones no negativas estableciendo

{\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leq f\leq h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leq f\right\}.\end{aligned}}

Para las funciones medibles de Borel, se tiene

{\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),

y cada lado de la identidad define entonces la integral de Lebesgue–Stieltjes de $h$ . La medida exterior $μ g$ se define mediante

\mu _{g}(A):={\overline {I}}(\chi _{A})={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})

donde $χ A$ es la función indicadora de $A$ .

Los integradores de variación acotada se manejan como se indicó anteriormente, descomponiéndolos en variaciones positivas y negativas.

Ejemplo

Supongamos que $γ$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $R$ $2$ es una curva rectificable en el plano y $ρ$ $:$ $R$ $2$ $\to [0, \infty)$ es medible según Borel. Entonces podemos definir la longitud de $γ$ con respecto a la métrica euclidiana ponderada por ρ como

\int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),

donde es la longitud de la restricción de $γ$ a $[$ $a$ $,$ $t$ $]$ . Esto a veces se llama la $ρ$ -longitud de $γ$ . Esta noción es bastante útil para varias aplicaciones: por ejemplo, en terreno fangoso la velocidad en la que una persona puede moverse puede depender de qué tan profundo sea el barro. Si $ρ$ $($ $z$ $)$ denota la inversa de la velocidad de caminata en o cerca $de z$ , entonces la $ρ$ -longitud de $γ$ es el tiempo que tomaría atravesar $γ$ . El concepto de longitud extremal utiliza esta noción de la $ρ$ -longitud de curvas y es útil en el estudio de aplicaciones conformes . $\ell(t)$

Integración por partes

Se dice que una función $f$ es "regular" en un punto $a$ si existen los límites derecho e izquierdo $f$ $($ $a$ $+)$ y $f$ $($ $a$ $-)$ , y la función toma en $a$ el valor promedio

f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.

Dadas dos funciones $U$ y $V$ de variación finita, si en cada punto al menos una de $U$ o $V$ es continua o $U$ y $V$ son ambas regulares, entonces se cumple una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue-Stieltjes: ^[2]

\int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <a<b<\infty .

Aquí las medidas de Lebesgue-Stieltjes relevantes están asociadas con las versiones continuas por la derecha de las funciones $U$ y $V$ ; es decir, a y de manera similar El intervalo acotado $($ $a$ $,$ $b$ $)$ puede reemplazarse con un intervalo ilimitado $(-\infty,$ $b$ $)$ , $($ $a$ $, \infty)$ o $(-\infty, \infty)$ siempre que $U$ y $V$ sean de variación finita en este intervalo ilimitado. También se pueden usar funciones de valores complejos. ${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$ ${\tilde {V}}(x).$

Un resultado alternativo, de importancia significativa en la teoría del cálculo estocástico es el siguiente: dadas dos funciones $U$ y $V$ de variación finita, que son ambas continuas por la derecha y tienen límites por la izquierda (son funciones càdlàg ), entonces

U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},

donde $Δ U t = U (t) - U (t -)$ . Este resultado puede considerarse un precursor del lema de Itô y es útil en la teoría general de la integración estocástica. El término final es $Δ U (t)Δ V (t) = d [U, V],$ que surge de la covariación cuadrática de $U$ y $V$ . (El resultado anterior puede considerarse entonces como un resultado perteneciente a la integral de Stratonovich ).

Conceptos relacionados

Integración de Lebesgue

Cuando $g (x) = x$ para todo $x$ real , entonces $μ g$ es la medida de Lebesgue , y la integral de Lebesgue–Stieltjes de $f$ con respecto a $g$ es equivalente a la integral de Lebesgue de $f$ .

Integración de Riemann-Stieltjes y teoría de la probabilidad

Donde $f$ es una función continua de valor real de una variable real y $v$ es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue-Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes , en cuyo caso a menudo escribimos

\int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)

para la integral de Lebesgue–Stieltjes, dejando implícita la medida $μ v$ . Esto es particularmente común en la teoría de la probabilidad cuando $v$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria de valor real $X$ , en cuyo caso

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].

(Consulte el artículo sobre la integración de Riemann-Stieltjes para obtener más detalles sobre cómo abordar estos casos).

Notas

^ Halmos (1974), Sección 15
^ Hewitt, Edwin (mayo de 1960). "Integración por partes para integrales de Stieltjes". The American Mathematical Monthly . 67 (5): 419–423. doi :10.2307/2309287. JSTOR 2309287.

Ver también

Henstock-Kurzweil-Stiltjes Integral

Referencias

Halmos, Paul R. (1974), Teoría de la medida , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
Hewitt, Edwin ; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag.
Saks, Stanisław (1937) Teoría de la integral.
Shilov, GE y Gurevich, BL, 1978. Integral, medida y derivada: un enfoque unificado , Richard A. Silverman, trad. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8 .