variedad invariante

En los sistemas dinámicos , una rama de las matemáticas , una variedad invariante es una variedad topológica que es invariante bajo la acción del sistema dinámico. ^[1] Los ejemplos incluyen la variedad lenta , la variedad central , la variedad estable , la variedad inestable , la variedad subcentral y la variedad inercial .

Normalmente, aunque no siempre, las variedades invariantes se construyen como una "perturbación" de un subespacio invariante alrededor de un equilibrio. En los sistemas disipativos, una variedad invariante basada en los modos más graves y duraderos forma un modelo de dinámica reducido, de baja dimensión y eficaz. ^[2]

Definición

Considere la ecuación diferencial donde el flujo es la solución de la ecuación diferencial con . Un conjunto se llama conjunto invariante para la ecuación diferencial si, para cada , la solución , definida en su intervalo máximo de existencia, tiene su imagen en . Alternativamente, la órbita que pasa por cada uno se encuentra en . Además, se llama variedad invariante si es una variedad . ^[3] ${\displaystyle dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle x(t)=\phi _{t}(x_{0})}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{0}\in S}$ ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(x_{0})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{0}\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

Sistema dinámico 2D simple

Para cualquier parámetro fijo , considere las variables gobernadas por el par de ecuaciones diferenciales acopladas. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x(t),y(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=ax-xy\quad {\text{and}}\quad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-y+x^{2}-2y^{2}.}$

El origen es un equilibrio. Este sistema tiene dos variedades invariantes de interés a través del origen.

• La línea vertical es invariante cuando la ecuación se convierte en lo que garantiza que permanezca cero. Esta variedad invariante, , es una variedad estable del origen (cuando ) ya que todas las condiciones iniciales conducen a soluciones que se aproximan asintóticamente al origen. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle x(0)=0,\ y(0)>-1/2}$
• La parábola es invariante para todos los parámetros . Se puede ver esta invariancia considerando la derivada del tiempo y encontrando que es cero como se requiere para una variedad invariante. Porque esta parábola es la variedad inestable del origen. Porque esta parábola es una variedad central , más precisamente una variedad lenta , del origen. ${\displaystyle y=x^{2}/(1+2a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(y-{\tfrac {x^{2}}{1+2a}}\right)}$ ${\displaystyle y={\tfrac {x^{2}}{1+2a}}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a=0}$
• Porque sólo hay una variedad estable invariante alrededor del origen, la variedad estable incluye todo . ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle (x,y),\ y>-1/2}$

Variedades invariantes en sistemas dinámicos no autónomos.

Una ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x,t),\ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t\in \mathbb {R} ,}$

representa un sistema dinámico no autónomo , cuyas soluciones son de la forma con . En el espacio de fase extendido de dicho sistema, cualquier superficie inicial genera una variedad invariante ${\displaystyle x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})}$ ${\displaystyle x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\cup _{t\in \mathbb {R} }\phi _{t_{0}}^{t}(M_{0}).}$

Entonces, una pregunta fundamental es cómo se pueden localizar, dentro de esta gran familia de variedades invariantes, aquellas que tienen la mayor influencia en la dinámica general del sistema. Estas variedades invariantes más influyentes en el espacio de fase extendido de sistemas dinámicos no autónomos se conocen como estructuras coherentes lagrangianas . ^[4]

Ver también

• conjunto hiperbólico
• Estructura coherente lagrangiana
• Subvariedad espectral

Referencias

1. Hirsh MW, Pugh CC, Shub M., Colectores invariantes, Lect. Notas. Math., 583, Springer, Berlín — Heidelberg, 1977
2. AJ Roberts. La utilidad de una descripción múltiple invariante de la evolución de un sistema dinámico. SIAM J. Matemáticas. Anal., 20:1447–1458, 1989. http://locus.siam.org/SIMA/volume-20/art_0520094.html Archivado el 20 de agosto de 2008 en la Wayback Machine.
3. C. Chicone. Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones, volumen 34 de Textos de Matemática Aplicada. Springer, 2006, pág.34
4. Haller, G. (2015). "Estructuras coherentes lagrangianas". Revisión Anual de Mecánica de Fluidos . 47 (1): 137–162. Código Bib : 2015AnRFM..47..137H. doi : 10.1146/annurev-fluid-010313-141322.