Las distribuciones normales se transforman

La transformada de distribuciones normales ( NDT ) es un algoritmo de registro de nubes de puntos introducido por Peter Biber y Wolfgang Straßer en 2003, mientras trabajaban en la Universidad de Tübingen .

El algoritmo registra dos nubes de puntos asociando primero una distribución normal por partes a la primera nube de puntos, que da la probabilidad de muestrear un punto perteneciente a la nube en una coordenada espacial dada, y luego encontrando una transformación que mapea la segunda nube de puntos a la primera maximizando la probabilidad de la segunda nube de puntos en dicha distribución como una función de los parámetros de la transformación.

El algoritmo , que se introdujo originalmente para la correspondencia de mapas de nubes de puntos 2D en la localización y el mapeo simultáneos (SLAM) y el seguimiento de la posición relativa ^[1] , se extendió a las nubes de puntos 3D ^[2] y tiene amplias aplicaciones en la visión artificial y la robótica . El NDT es muy rápido y preciso, lo que lo hace adecuado para su aplicación en datos a gran escala, pero también es sensible a la inicialización, lo que requiere una estimación inicial lo suficientemente precisa y, por esta razón, se utiliza normalmente en una estrategia de alineación de gruesa a fina. ^{[3] [4] [5]}

Formulación

La función NDT asociada a una nube de puntos se construye dividiendo el espacio en celdas regulares. Para cada celda, es posible definir la media y la covarianza de los puntos de la nube que caen dentro de la celda. La densidad de probabilidad de muestrear un punto en una ubicación espacial dada dentro de la celda viene dada por la distribución normal. ${\displaystyle \textstyle \mathbf {q} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {x_{i}} }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}}$.

Se pueden mapear dos nubes de puntos mediante una transformación euclidiana con matriz de rotación y vector de traslación ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$

${\displaystyle f_{\mathbf {R} ,\mathbf {t} }(\mathbf {x} )=\mathbf {R} \mathbf {x} +\mathbf {t} }$

que mapea desde la segunda nube a la primera, parametrizada por los ángulos de rotación y los componentes de traslación.

El algoritmo registra las dos nubes de puntos optimizando los parámetros de la transformación que mapea la segunda nube a la primera, respecto a una función de pérdida basada en el NDT de la primera nube de puntos, resolviendo el siguiente problema

${\displaystyle \arg \min _{\mathbf {R} ,\mathbf {t} }\left\{-\sum _{i}\operatorname {NDT} \left(f_{\mathbf {R} ,\mathbf {t} }\left(\mathbf {x_{i}} \right)\right)\right\}}$

donde la función de pérdida representa la probabilidad negada, obtenida al aplicar la transformación a todos los puntos de la segunda nube y sumar el valor del NDT en cada punto transformado . La pérdida es continua por partes y diferenciable , y se puede optimizar con métodos basados ​​en gradientes (en la formulación original, los autores utilizan el método de Newton ). ${\displaystyle f_{\mathbf {R} ,\mathbf {t} }(\mathbf {x} )}$

Para reducir el efecto de la discretización celular, una técnica consiste en dividir el espacio en múltiples cuadrículas superpuestas, desplazadas a la mitad del tamaño de la celda a lo largo de las direcciones espaciales, y calcular la probabilidad en una ubicación dada como la suma de los NDT inducidos por cada cuadrícula. ^[1]

Referencias

1. (Biber y Straßer 2003)
2. (Magnusson 2009)
3. (Dong y otros, 2020)
4. (Li, Wang y Zhang 2021, págs. 21-22)
5. (Cheng et al.2018, págs. 10-11, 13)

Fuentes

• Biber, Peter; Straßer, Wolfgang (2003). "La transformación de distribuciones normales: un nuevo enfoque para la comparación de escaneos láser". Actas de la Conferencia internacional IEEE/RSJ 2003 sobre robots y sistemas inteligentes (IROS 2003) (n.º de cat. 03CH37453) . Vol. 3.
• Cheng, Liang; Chen, Song; Liu, Xiaoqiang; Xu, Hao; Wu, Yang; Li, Manchun; Chen, Yanming (2018). "Registro de nubes de puntos de escaneo láser: una revisión". Sensores . 18 (5). Instituto de Publicaciones Digitales Multidisciplinarias: 1641. Bibcode :2018Senso..18.1641C. doi : 10.3390/s18051641 . PMC  5981425 . PMID  29883397.
• Dong, Zhen; Liang, Fuxun; Yang, Bisheng; Xu, Yusheng; Zang, Yufu; Li, Jianping; Wang, Yuan; Dai, Wenxia; Fan, Hongchao; Hyyppä, Juha (2020). "Registro de nubes de puntos de escáner láser terrestre a gran escala: una revisión y un punto de referencia". ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing . 163 . Elsevier: 327–342. Bibcode :2020JPRS..163..327D. doi :10.1016/j.isprsjprs.2020.03.013. S2CID  216449537.
• Li, Leihui; Wang, Riwei; Zhang, Xuping (2021). "Una revisión tutorial sobre registros de nubes de puntos: principios, clasificación, comparación y desafíos tecnológicos". Problemas matemáticos en ingeniería . 2021 . Hindawi.
• Magnusson, Martin (2009). Transformación de distribuciones normales tridimensionales: una representación eficiente para registro, análisis de superficies y detección de bucles (Ph.D.). Örebro universitet.

Enlaces externos

• "Registrar dos nubes de puntos utilizando el algoritmo NDT". MathWorks.