La identidad de Cándido

Identidad para números reales

Interpretación geométrica de la identidad de Cándido para números secuenciales de Fibonacci. El área blanca es igual al área gris y cada una de ellas equivale a la mitad del área del cuadrado exterior. ^[1]

La identidad de Cándido , llamada así por el matemático italiano Giacomo Cándido , es una identidad para números reales. Establece que para dos números reales arbitrarios y se cumple la siguiente igualdad: ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \left[x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}\right]^{2}=2[x^{4}+y^{4}+(x+y)^{4}]}$

Sin embargo, la identidad no está restringida a los números reales, sino que se cumple en cualquier anillo conmutativo . ^[2]

Cándido ideó originalmente la identidad para demostrar la siguiente identidad de los números de Fibonacci : ^[1]

${\displaystyle (f_{n}^{2}+f_{n+1}^{2}+f_{n+2}^{2})^{2}=2(f_{n}^{4}+f_{n+1}^{4}+f_{n+2}^{4})}$

Prueba

Se puede obtener una demostración algebraica sencilla simplemente expandiendo completamente ambos lados de la ecuación. Sin embargo, la identidad también se puede interpretar geométricamente. En este caso, establece que el área de un cuadrado con una longitud de lado es igual al doble de la suma de las áreas de tres cuadrados con longitudes de lado , y . Esto permite la siguiente demostración gracias a Roger B. Nelsen: ^[3] ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle (x+y)^{2}}$

Los cuadrados (blancos) de lados de longitud y aparecen dos veces cada uno y las áreas coloreadas son iguales al área del cuadrado blanco de lado de longitud , por lo tanto, el área del cuadrado exterior es igual al doble de la suma de las áreas de los tres cuadrados interiores (blancos). ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle (x+y)^{2}}$

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Lectura adicional

• S. Melham: "LA ANTIGUA TIENDA DE CURIOSIDADES DE FIBONACCI REVISADA". En: Fibonacci Quarterly , 2004, 2, págs. 155-160
• Zvonko Cerin: “Sobre las identidades de tipo CANDIDO”. En: Fibonacci Quarterly , volumen 55, n.º 5, 2017, págs. 46-51
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: "Sobre la identidad de Cándido". En: Mathematics Magazine , Volumen 80, N.° 3 (junio de 2007), pp. 226-228 (JSTOR)

Enlaces externos

• La identidad de Candido en cut-the-knot.org

Referencias

1. Thomas Koshy: Números de Fibonacci y Lucas con aplicaciones . Wiley, 2001, ISBN  9781118031315 , págs. 92, 299-300
2. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: "Sobre la identidad de Cándido". En: Mathematics Magazine , volumen 80, n.º 3 (junio de 2007), pp. 226-228
3. Roger B. Nelsen: Prueba sin palabras: la identidad de Candido . En: Mathematics Magazine , volumen 78, n.º 2 (abril de 2005), pág. 131 (JSTOR)