La fórmula de Santaló

En geometría diferencial , la fórmula de Santaló describe cómo integrar una función en el paquete de esferas unitarias de una variedad de Riemann integrando primero a lo largo de cada geodésica por separado y luego sobre el espacio de todas las geodésicas. Es una herramienta estándar en geometría integral y tiene aplicaciones en resultados isoperimétricos ^{[1] y de rigidez. [2]} La fórmula lleva el nombre de Luis Santaló , quien demostró el resultado por primera vez en 1952. ^{[3] [4]}

Formulación

Sea una variedad Riemanniana compacta y orientada con límite. Entonces para una función , la fórmula de Santaló toma la forma ${\displaystyle (M,\partial M,g)}$ ${\displaystyle f:SM\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{SM}f(x,v)\,d\mu (x,v)=\int _{\partial _{+}SM}\left[\int _{0}^{\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt\right]\langle v,\nu (x)\rangle \,d\sigma (x,v),}$

dónde

• ${\displaystyle (\varphi _{t})_{t}}$es el flujo geodésico y es el tiempo de salida de la geodésica con condiciones iniciales , ${\displaystyle \tau (x,v)=\sup\{t\geq 0:\forall s\in [0,t]:~\varphi _{s}(x,v)\in SM\}}$ ${\displaystyle (x,v)\in SM}$
• ${\displaystyle \mu }$y son las formas de volumen de Riemann con respecto a la métrica de Sasaki en y respectivamente ( también se llama medida de Liouville ), ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle SM}$ ${\displaystyle \partial SM}$ ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle \nu }$es la unidad que apunta hacia adentro normal y el límite de afluencia , que debe considerarse como una parametrización del espacio de las geodésicas. ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle \partial _{+}SM:=\{(x,v)\in SM:x\in \partial M,\langle v,\nu (x)\rangle \geq 0\}}$

Validez

Bajo los supuestos de que

1. ${\displaystyle M}$no es atrapante (es decir, para todos ) y ${\displaystyle \tau (x,v)<\infty }$ ${\displaystyle (x,v)\in SM}$
2. ${\displaystyle \partial M}$es estrictamente convexo (es decir, la segunda forma fundamental es definida positiva para cada ), ${\displaystyle II_{\partial M}(x)}$ ${\displaystyle x\in \partial M}$

La fórmula de Santaló es válida para todos . En este caso equivale a la siguiente identidad de medidas: ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle \Phi ^{*}d\mu (x,v,t)=\langle \nu (x),x\rangle d\sigma (x,v)dt,}$

donde y está definido por . En particular, esto implica que la transformada geodésica de rayos X se extiende a un mapa lineal acotado , donde y por tanto existe la siguiente versión de la fórmula de Santaló: ${\displaystyle \Omega =\{(x,v,t):(x,v)\in \partial _{+}SM,t\in (0,\tau (x,v))\}}$ ${\displaystyle \Phi :\Omega \rightarrow SM}$ ${\displaystyle \Phi (x,v,t)=\varphi _{t}(x,v)}$ ${\displaystyle If(x,v)=\int _{0}^{\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt}$ ${\displaystyle I:L^{1}(SM,\mu )\rightarrow L^{1}(\partial _{+}SM,\sigma _{\nu })}$ ${\displaystyle d\sigma _{\nu }(x,v)=\langle v,\nu (x)\rangle \,d\sigma (x,v)}$ ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle \int _{SM}f\,d\mu =\int _{\partial _{+}SM}If~d\sigma _{\nu }\quad {\text{for all }}f\in L^{1}(SM,\mu ).}$

Si la condición de no atrapamiento o de convexidad desde arriba falla, entonces hay un conjunto de medidas positivas, de modo que las geodésicas que emergen de cualquiera de ellas no logran alcanzar el límite o lo hacen de manera no transversal. En este caso la fórmula de Santaló sólo sigue siendo válida para funciones con soporte disjunto de este conjunto excepcional . ${\displaystyle E\subset SM}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$

Prueba

La siguiente prueba está tomada de [ ^[5] Lema 3.3], adaptada a la configuración (más simple) cuando las condiciones 1) y 2) anteriores son verdaderas. La fórmula de Santaló se desprende de los siguientes dos ingredientes, destacando que tiene medida cero. ${\displaystyle \partial _{0}SM=\{(x,v):\langle \nu (x),v\rangle =0\}}$

• Una fórmula de integración por partes para el campo vectorial geodésico : ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \int _{SM}Xu~d\mu =-\int _{\partial _{+}SM}u~d\sigma _{\nu }\quad {\text{for all }}u\in C^{\infty }(SM)}$

• La construcción de un resolutivo para la ecuación de transporte : ${\displaystyle Xu=-f}$

${\displaystyle \exists R:C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)\rightarrow C^{\infty }(SM):XRf=-f{\text{ and }}Rf\vert _{\partial _{+}SM}=If\quad {\text{for all }}f\in C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)}$

Para la fórmula de integración por partes, recordemos que deja invariante la medida de Liouville y por tanto la divergencia con respecto a la métrica de Sasaki . Por lo tanto, el resultado se deriva del teorema de la divergencia y de la observación de que , ¿dónde está la unidad normal que apunta hacia adentro ? El resolutivo está dado explícitamente por y la propiedad de mapeo se deriva de la suavidad de , que es una consecuencia del supuesto de no atrapamiento y de convexidad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Xu=\operatorname {div} _{G}(uX)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle X(x,v),N(x,v)\rangle _{G}=\langle v,\nu (x)\rangle _{g}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial SM}$ ${\displaystyle Rf(x,v)=\int _{0}^{\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)\rightarrow C^{\infty }(SM)}$ ${\displaystyle \tau :SM\smallsetminus \partial _{0}SM\rightarrow [0,\infty )}$

Referencias

1. Croke, Christopher B. "Una marcada desigualdad isoperimétrica de cuatro dimensiones". Comentarios Mathematici Helvetici 59.1 (1984): 187–192.
2. Ilmavirta, Joonas y François Monard. "4 Geometría integral en variedades con límites y aplicaciones". La transformación del radón: los primeros 100 años y más allá 22 (2019): 43.
3. Santaló, Luis Antonio. Medida de conjuntos de geodésicas en un espacio riemanniano y aplicaciones a fórmulas integrales en espacios elípticos e hiperbólicos. 1952
4. Santaló, Luis A. Geometría integral y probabilidad geométrica. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2004
5. Guillarmou, Colin, Marco Mazzucchelli y Leo Tzou. "Rigidez de límites y lentes para variedades no convexas". Revista Estadounidense de Matemáticas 143 (2021), no. 2, 533-575.

• Isaac Chavel (1995). "5.2 Fórmula de Santalo". Geometría de Riemann: una introducción moderna. Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 108. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-48578-9.