Función de Green (teoría de muchos cuerpos)

Correladores de operadores de campo

En la teoría de muchos cuerpos , el término función de Green (o función de Green ) a veces se usa indistintamente con función de correlación , pero se refiere específicamente a correlacionadores de operadores de campo u operadores de creación y aniquilación .

El nombre proviene de las funciones de Green utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas , con las que están vagamente relacionadas. (Específicamente, solo las "funciones de Green" de dos puntos en el caso de un sistema no interactuante son funciones de Green en el sentido matemático; el operador lineal que invierten es el operador hamiltoniano , que en el caso no interactuante es cuadrático en los campos).

Caso espacialmente uniforme

Definiciones básicas

Consideramos una teoría de muchos cuerpos con operador de campo (operador de aniquilación escrito en la base de la posición) . ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$

Los operadores de Heisenberg se pueden escribir en términos de operadores de Schrödinger como y el operador de creación es , donde es el hamiltoniano gran canónico . $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=e^{iKt}\psi (\mathbf {x} )e^{-iKt},}$$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dagger }}$ ${\displaystyle K=H-\mu N}$

De manera similar, para los operadores de tiempo imaginario , [Nótese que el operador de creación de tiempo imaginario no es el conjugado hermítico del operador de aniquilación .] $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )e^{-K\tau }}$$ $${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )e^{-K\tau }.}$$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )}$

En tiempo real, la función Green de punto - se define por donde hemos utilizado una notación condensada en la que significa y significa . El operador denota ordenación temporal e indica que los operadores de campo que lo siguen deben ordenarse de modo que sus argumentos temporales aumenten de derecha a izquierda. ${\displaystyle 2n}$ $${\displaystyle G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} _{j},t_{j})}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} _{j}',t_{j}')}$ ${\displaystyle T}$

En tiempo imaginario, la definición correspondiente es donde significa . (Las variables de tiempo imaginario están restringidas al rango de hasta la temperatura inversa ). $${\displaystyle {\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{j},\tau _{j}}$ ${\displaystyle \tau _{j}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$

Nota sobre los signos y la normalización utilizados en estas definiciones: Los signos de las funciones de Green se han elegido de modo que la transformada de Fourier de la función de Green térmica de dos puntos ( ) para una partícula libre sea y la función de Green retardada sea donde es la frecuencia de Matsubara . ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}},}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},}$$ $${\displaystyle \omega _{n}={\frac {[2n+\theta (-\zeta )]\pi }{\beta }}}$$

En todo momento, se utiliza para bosones y fermiones y denota un conmutador o un anticonmutador según corresponda. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta }}$

(Ver más abajo para más detalles.)

Funciones de dos puntos

La función de Green con un único par de argumentos ( ) se denomina función de dos puntos o propagador . En presencia de simetría traslacional tanto espacial como temporal, depende únicamente de la diferencia de sus argumentos. Al tomar la transformada de Fourier con respecto tanto al espacio como al tiempo, se obtiene donde la suma está sobre las frecuencias de Matsubara apropiadas (y la integral implica un factor implícito de , como es habitual). ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega _{n}(\tau -\tau ')},}$$ ${\displaystyle (L/2\pi )^{d}}$

En tiempo real, indicaremos explícitamente la función ordenada en el tiempo con un superíndice T: $${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int {\frac {d\omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega (t-t')}.}$$

La función de Green de dos puntos en tiempo real se puede escribir en términos de funciones de Green "retardadas" y "avanzadas", que resultarán tener propiedades de analiticidad más simples. Las funciones de Green retardadas y avanzadas se definen mediante y respectivamente. $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t-t')}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),}$$

Están relacionados con la función de Green ordenada en el tiempo por donde es la función de distribución de Bose-Einstein o Fermi-Dirac . $${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),}$$ $${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{e^{\beta \omega }-\zeta }}}$$

Ordenamiento del tiempo imaginario yβ-periodicidad

Las funciones de Green térmicas se definen únicamente cuando ambos argumentos de tiempo imaginario están dentro del rango de . La función de Green de dos puntos tiene las siguientes propiedades. (Los argumentos de posición o momento se suprimen en esta sección). ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \beta }$

En primer lugar, depende únicamente de la diferencia de los tiempos imaginarios: se permite que el argumento funcione desde hasta . $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').}$$ ${\displaystyle \tau -\tau '}$ ${\displaystyle -\beta }$ ${\displaystyle \beta }$

En segundo lugar, es (anti)periódica bajo desplazamientos de . Debido al pequeño dominio dentro del cual se define la función, esto significa que solo para . El orden temporal es crucial para esta propiedad, que se puede demostrar de manera sencilla, utilizando la ciclicidad de la operación de trazado. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau ),}$$ ${\displaystyle 0<\tau <\beta }$

Estas dos propiedades permiten la representación de la transformada de Fourier y su inversa, $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta }d\tau \,{\mathcal {G}}(\tau )\,e^{i\omega _{n}\tau }.}$$

Por último, observe que tiene una discontinuidad en ; esto es consistente con un comportamiento de larga distancia de . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ ${\displaystyle \tau =0}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|}$

Representación espectral

Los propagadores en tiempo real e imaginario pueden relacionarse con la densidad espectral (o peso espectral), dada por donde | α ⟩ se refiere a un estado propio (de muchos cuerpos) del hamiltoniano gran canónico H − μN , con valor propio E _α . $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right),}$$

El propagador de tiempo imaginario se da entonces por y el propagador retardado por donde el límite como está implícito. $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}~,}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}},}$$ ${\displaystyle \eta \to 0^{+}}$

El propagador avanzado viene dado por la misma expresión, pero con en el denominador. ${\displaystyle -i\eta }$

La función ordenada en el tiempo se puede hallar en términos de y . Como se afirmó anteriormente, y tienen propiedades de analiticidad simples: la primera (la última) tiene todos sus polos y discontinuidades en el semiplano inferior (superior). ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\omega )}$

El propagador térmico tiene todos sus polos y discontinuidades en el eje imaginario . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

La densidad espectral se puede encontrar de manera muy directa a partir de , utilizando el teorema de Sokhatsky-Weierstrass donde P denota la parte principal de Cauchy . Esto da ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ $${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).}$$

Esto implica además que obedece la siguiente relación entre sus partes reales e imaginarias: donde denota el valor principal de la integral. ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$ $${\displaystyle \operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},}$$ ${\displaystyle P}$

La densidad espectral obedece a una regla de suma, que da como resultado . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |}}}$$ ${\displaystyle |\omega |\to \infty }$

Transformada de Hilbert

La similitud de las representaciones espectrales de las funciones de Green en tiempo imaginario y real nos permite definir la función que está relacionada con y por y Una expresión similar obviamente es válida para . $${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=G(\mathbf {k} ,i\omega _{n})}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +i\eta ).}$$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$

La relación entre y se denomina transformada de Hilbert . ${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,x)}$

Prueba de representación espectral

Demostramos la prueba de la representación espectral del propagador en el caso de la función de Green térmica, definida como $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .}$$

Debido a la simetría traslacional, solo es necesario considerar para , dado por Insertar un conjunto completo de estados propios da ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)}$ ${\displaystyle \tau >0}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$$

Dado que y son estados propios de , los operadores de Heisenberg se pueden reescribir en términos de operadores de Schrödinger, dando Al realizar la transformada de Fourier se obtiene ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha '\rangle }$ ${\displaystyle H-\mu N}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}e^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}{\frac {1-\zeta e^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}}{-i\omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '}}}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .}$$

La conservación del momento permite escribir el término final como (hasta posibles factores del volumen), lo que confirma las expresiones de las funciones de Green en la representación espectral. $${\displaystyle |\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},}$$

La regla de la suma se puede demostrar considerando el valor esperado del conmutador y luego insertando un conjunto completo de estados propios en ambos términos del conmutador: $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid e^{-\beta (H-\mu N)}[\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,}$$ $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha }}\left(\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).}$$

Intercambiando las etiquetas en el primer término se obtiene que es exactamente el resultado de la integración de ρ . $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}~,}$$

Caso sin interacción

En el caso de no interacción, es un estado propio con energía (gran canónica) , donde es la relación de dispersión de partículas individuales medida con respecto al potencial químico. Por lo tanto, la densidad espectral se convierte en ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle }$ ${\displaystyle E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu }$ $${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta e^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})e^{-\beta E_{\alpha '}}.}$$

A partir de las relaciones de conmutación, con posibles factores del volumen nuevamente. La suma, que involucra el promedio térmico del operador numérico, entonces da simplemente , dejando $${\displaystyle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,}$$ ${\displaystyle [1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z}}}$ $${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega ).}$$

El propagador de tiempo imaginario es entonces y el propagador retardado es $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}}}$$ $${\displaystyle G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}}.}$$

Límite de temperatura cero

A medida que β → ∞ , la densidad espectral se convierte en donde α = 0 corresponde al estado fundamental. Nótese que solo el primer (segundo) término contribuye cuando ω es positivo (negativo). $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )\left|\left\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\right\rangle \right|^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )\left|\left\langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \right\rangle \right|^{2}\right]}$$

Caso general

Definiciones básicas

Podemos utilizar 'operadores de campo' como los anteriores, u operadores de creación y aniquilación asociados con otros estados de partícula única, tal vez estados propios de la energía cinética (no interactuante). Luego usamos donde es el operador de aniquilación para el estado de partícula única y es la función de onda de ese estado en la base de posición. Esto da una expresión similar para . $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1}}(\tau _{1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}')\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle }$$ ${\displaystyle G^{(n)}}$

Funciones de dos puntos

Estos dependen únicamente de la diferencia de sus argumentos de tiempo, de modo que y $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,e^{-i\omega _{n}(\tau -\tau ')}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\,G_{\alpha \beta }(\omega )\,e^{-i\omega (t-t')}.}$$

Podemos definir nuevamente las funciones retardadas y avanzadas de la manera obvia; estas están relacionadas con la función ordenada en el tiempo de la misma manera que arriba.

Las mismas propiedades de periodicidad descritas anteriormente se aplican a . Específicamente, y para . ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),}$$ ${\displaystyle \tau <0}$

Representación espectral

En este caso, donde y son estados de muchos cuerpos. $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}-E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \left(e^{-\beta E_{m}}-\zeta e^{-\beta E_{n}}\right),}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Las expresiones para las funciones de Green se modifican de las formas obvias: y $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}}.}$$

Sus propiedades de analiticidad son idénticas a las de y definidas en el caso invariante en la traducción. La demostración sigue exactamente los mismos pasos, excepto que los dos elementos de la matriz ya no son conjugados complejos. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$

Caso sin interacción

Si los estados particulares de partículas individuales que se eligen son 'estados propios de energía de partículas individuales', es decir, entonces para un estado propio: así es : y así es : $${\displaystyle [H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dagger }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dagger },}$$ ${\displaystyle |n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\mid n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle .}$$

Por lo tanto, tenemos $${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .}$$

Luego reescribimos por lo tanto el uso y el hecho de que el promedio térmico del operador numérico da la función de distribución de Bose-Einstein o Fermi-Dirac. $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle e^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$$ $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }e^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$$ $${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dagger }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle }$$

Finalmente, la densidad espectral se simplifica para dar que la función de Green térmica es y la función de Green retardada es Nótese que la función de Green no interactuante es diagonal, pero esto no será cierto en el caso de interacción. $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta },}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-i\omega _{n}+\xi _{\beta }}}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\beta }}}.}$$

Véase también

• Teorema de fluctuación
• Relaciones entre Green y Kubo
• Función de respuesta lineal
• Ecuación de Lindblad
• Propagador
• Función de correlación (teoría cuántica de campos)
• Continuación del análisis numérico

Referencias

Libros

• Bonch-Bruevich VL, Tyablikov SV (1962): El método de la función de Green en mecánica estadística. North Holland Publishing Co.
• Abrikosov, AA, Gorkov, LP y Dzyaloshinski, IE (1963): Métodos de la teoría cuántica de campos en física estadística Englewood Cliffs: Prentice-Hall.
• Negele, JW y Orland, H. (1988): Sistemas cuánticos de muchas partículas AddisonWesley.
• Zubarev DN , Morozov V., Ropke G. (1996): Mecánica estadística de procesos de no equilibrio: conceptos básicos, teoría cinética (vol. 1). John Wiley & Sons. ISBN  3-05-501708-0 .
• Mattuck Richard D. (1992), Una guía para los diagramas de Feynman en el problema de muchos cuerpos , Dover Publications, ISBN 0-486-67047-3 . 

Papeles

• Bogolyubov NN , Tyablikov SV Funciones de Green retardadas y avanzadas en física estadística, Soviet Physics Doklady, Vol. 4 , pág. 589 (1959).
• Zubarev DN , Funciones de Green de doble tiempo en física estadística, Física soviética Uspekhi 3 (3), 320–345 (1960).

Enlaces externos

• Funciones de respuesta lineal en Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt y Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9