En teoría de la probabilidad , la desigualdad de Popoviciu , llamada así en honor a Tiberiu Popoviciu , es un límite superior de la varianza σ 2 de cualquier distribución de probabilidad acotada . Sean M y m los límites superior e inferior de los valores de cualquier variable aleatoria con una distribución de probabilidad particular. Entonces la desigualdad de Popoviciu establece: [1]
![{\displaystyle \sigma ^{2}\leq {\frac {1}{4}}(Mm)^{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta igualdad se cumple precisamente cuando la mitad de la probabilidad se concentra en cada uno de los dos límites.
Sharma y col . han agudizado la desigualdad de Popoviciu: [2]
![{\displaystyle {\sigma ^{2}+\left({\frac {\text{Tercer momento central}}{2\sigma ^{2}}}\right)^{2}}\leq {\frac { 1}{4}}(Mm)^{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si además se supone conocimiento de la expectativa, entonces se cumple la desigualdad Bhatia-Davis más fuerte
![{\displaystyle \sigma ^{2}\leq (M-\mu )(\mu -m)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde μ es la expectativa de la variable aleatoria. [3]
En el caso de una muestra independiente de n observaciones de una distribución de probabilidad acotada, la desigualdad de von Szokefalvi Nagy [4] da un límite inferior a la varianza de la media muestral:
![{\displaystyle \sigma ^{2}\geq {\frac {(Mm)^{2}}{2n}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba a través de la desigualdad de Bhatia-Davis
Sea una variable aleatoria con media , varianza y . Entonces, desde , ![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Pr(m\leq A\leq M)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m\leq A\leq M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
De este modo,
.
Ahora, aplicando la Desigualdad de medias aritméticas y geométricas , , con y , se obtiene el resultado deseado:![{\displaystyle ab\leq \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a=M-\mu }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b=\mu -m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Referencias
- ^ Popoviciu, T. (1935). "Sur les équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles". Matemática (Cluj) . 9 : 129-145.
- ^ Sharma, R., Gupta, M., Kapoor, G. (2010). "Algunos límites mejores para la variación con las aplicaciones". Revista de desigualdades matemáticas . 4 (3): 355–363. doi : 10.7153/jmi-04-32 .
{{cite journal}}
: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace ) - ^ Bhatia, Rajendra; Davis, Chandler (abril de 2000). "Un mejor límite de la varianza". Mensual Matemático Estadounidense . 107 (4). Asociación Matemática de América : 353–357. doi :10.2307/2589180. ISSN 0002-9890. JSTOR 2589180.
- ^ Nagy, Julio (1918). "Über algebraische Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 27 : 37–43.