Descomposición tensorial

Proceso en álgebra

En álgebra multilineal , una descomposición tensorial es cualquier esquema para expresar un "tensor de datos" (matriz de M vías) como una secuencia de operaciones elementales que actúan sobre otros tensores, a menudo más simples. ^{[1] [2] [3]} Muchas descomposiciones tensoriales generalizan algunas descomposiciones matriciales . ^[4]

Los tensores son generalizaciones de matrices a dimensiones superiores (o más bien a órdenes superiores, es decir, al mayor número de dimensiones) y, en consecuencia, pueden tratarse como campos multidimensionales. ^{[1] [5]} Las principales descomposiciones tensoriales son:

• Descomposición de rangos tensoriales ; ^[6]
• Descomposición de valores singulares de orden superior ; ^[7]
• Descomposición de Tucker ;
• estados de productos matriciales y operadores o trenes tensoriales;
• Descomposiciones tensoriales en línea ^{[8] [9] [10]}
• descomposición jerárquica de Tucker; ^[11]
• descomposición de términos de bloque ^{[12] [13] [11] [14]}

Notación

Esta sección presenta notaciones y operaciones básicas que se utilizan ampliamente en este campo.

Introducción

Un gráfico multidireccional con K perspectivas es una colección de K matrices con dimensiones I × J (donde I, J son el número de nodos). Esta colección de matrices se representa naturalmente como un tensor X de tamaño I × J × K. Para evitar sobrecargar el término “dimensión”, llamamos a un tensor I × J × K un tensor de tres “modos”, donde “modos” son los números de índices utilizados para indexar el tensor. ${\displaystyle {X_{1},X_{2}.....X_{K}}}$

Referencias

1. Vasilescu, MAO; Terzopoulos, D. "Síntesis, análisis y reconocimiento de imágenes multilineales (tensoriales) [dsp exploratorio]". Revista de procesamiento de señales IEEE . 24 (6): 118-123.
2. Kolda, Tamara G.; Bader, Brett W. (6 de agosto de 2009). "Descomposiciones y aplicaciones de tensores". Revisión SIAM . 51 (3): 455–500. Código Bib : 2009SIAMR..51..455K. doi :10.1137/07070111X. ISSN  0036-1445. S2CID  16074195.
3. Sidiropoulos, Nicolás D.; De Lathauwer, Lieven; Fu, Xiao; Huang, Kejun; Papalexakis, Evangelos E.; Faloutsos, Christos (1 de julio de 2017). "Descomposición de tensores para procesamiento de señales y aprendizaje automático". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 65 (13): 3551–3582. arXiv : 1607.01668 . Código Bib : 2017ITSP...65.3551S. doi :10.1109/TSP.2017.2690524. ISSN  1053-587X. S2CID  16321768.
4. Bernardi, A.; Brachat, J.; Común, P.; Mourrain, B. (1 de mayo de 2013). "Descomposición general de tensores, matrices de momentos y aplicaciones". Revista de Computación Simbólica . 52 : 51–71. arXiv : 1105.1229 . doi :10.1016/j.jsc.2012.05.012. ISSN  0747-7171. S2CID  14181289.
5. Rabanser, Stephan; Shchur, Oleksandr; Günnemann, Stephan (2017). "Introducción a las descomposiciones tensoriales y sus aplicaciones en el aprendizaje automático". arXiv : 1711.10781 [estad.ML].
6. Papalexakis, Evangelos E. (30 de junio de 2016). "Minería tensor automática no supervisada con evaluación de calidad". Actas de la Conferencia Internacional SIAM 2016 sobre Minería de Datos . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas: 711–719. arXiv : 1503.03355 . doi :10.1137/1.9781611974348.80. ISBN 978-1-61197-434-8. S2CID  10147789.
7. Vasilescu, MAO; Terzopoulos, D. (2002). Análisis multilineal de conjuntos de imágenes: TensorFaces (PDF) . Apuntes de conferencias sobre informática; (Presentado en el Proc. 7ma Conferencia Europea sobre Visión por Computador (ECCV'02), Copenhague, Dinamarca). vol. 2350. Springer, Berlín, Heidelberg. doi :10.1007/3-540-47969-4_30. ISBN 978-3-540-43745-1.
8. Gujral, Ekta; Pasricha, Ravdeep; Papalexakis, Evangelos E. (7 de mayo de 2018). Ester, Martín; Pedreschi, Dino (eds.). "SamBaTen: descomposición tensorial incremental por lotes basada en muestreo". Actas de la Conferencia Internacional SIAM 2018 sobre Minería de Datos . doi :10.1137/1.9781611975321. hdl : 10536/DRO/DU:30109588 . ISBN 978-1-61197-532-1. S2CID  21674935.
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10. Gujral, Ekta (2022). "Modelado y extracción de gráficos de aspectos múltiples con descomposición tensorial de transmisión escalable". arXiv : 2210.04404 [cs.SI].
11. Vasilescu, MAO; Kim, E. (2019). Factorización del tensor jerárquico composicional: representación de factores causales jerárquicos intrínsecos y extrínsecos . En la 25ª Conferencia ACM SIGKDD sobre descubrimiento de conocimientos y minería de datos (KDD'19): métodos tensoriales para los desafíos emergentes de la ciencia de datos. arXiv : 1911.04180 .
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14. Gujral, Ekta; Pasricha, Ravdeep; Papalexakis, Evangelos (20 de abril de 2020). "Más allá del rango 1: descubrir una estructura comunitaria rica en gráficos de aspectos múltiples". Actas de la Conferencia Web 2020 . Taipei Taiwán: ACM. págs. 452–462. doi :10.1145/3366423.3380129. ISBN 978-1-4503-7023-3. S2CID  212745714.