En matemáticas, la conjetura de la función totiente de Carmichael se refiere a la multiplicidad de valores de la función totiente de Euler φ ( n ), que cuenta el número de números enteros menores que y coprimos con respecto a n . Afirma que, por cada n existe al menos otro número entero m ≠ n tal que φ ( m ) = φ ( n ).Robert Carmichael planteó esta conjetura por primera vez en 1907, pero como un teorema más que como una conjetura. Sin embargo, su prueba fue defectuosa y, en 1922, se retractó de su afirmación y planteó la conjetura como un problema abierto .
La función totiente φ ( n ) es igual a 2 cuando n es uno de los tres valores 3, 4 y 6. Por lo tanto, si tomamos cualquiera de estos tres valores como n , entonces se puede usar cualquiera de los otros dos valores. como el m para el cual φ ( m ) = φ ( n ).
De manera similar, el totiente es igual a 4 cuando n es uno de los cuatro valores 5, 8, 10 y 12, y es igual a 6 cuando n es uno de los cuatro valores 7, 9, 14 y 18. En cada En este caso, hay más de un valor de n que tiene el mismo valor de φ ( n ).
La conjetura establece que este fenómeno de valores repetidos se cumple para cada n .
Existen límites inferiores muy altos para la conjetura de Carmichael que son relativamente fáciles de determinar. El propio Carmichael demostró que cualquier contraejemplo a su conjetura (es decir, un valor n tal que φ( n ) sea diferente de los totientes de todos los demás números) debe ser al menos 10 37 , y Victor Klee extendió este resultado a 10 400 . Schlafly y Wagon dieron un límite inferior de , y Kevin Ford determinó un límite inferior de 1998. [1]
La técnica computacional subyacente a estos límites inferiores depende de algunos resultados clave de Klee que permiten demostrar que el contraejemplo más pequeño debe ser divisible por los cuadrados de los números primos que dividen su valor totiente. Los resultados de Klee implican que 8 y los primos de Fermat (primos de la forma 2 k + 1) excluyendo 3 no dividen el contraejemplo más pequeño. En consecuencia, probar la conjetura equivale a demostrar que la conjetura se cumple para todos los números enteros congruentes con 4 (mod 8).
Ford también demostró que si existe un contraejemplo a la conjetura, entonces una proporción positiva (en el sentido de densidad asintótica) de los números enteros también son contraejemplos. [1]
Aunque la conjetura es ampliamente aceptada, Carl Pomerance dio una condición suficiente para que un número entero n fuera un contraejemplo de la conjetura (Pomerance 1974). Según esta condición, n es un contraejemplo si para todo primo p tal que p − 1 divide φ ( n ), p 2 divide n . Sin embargo, Pomerance demostró que la existencia de tal número entero es muy improbable. Esencialmente, se puede demostrar que si los primeros k primos p congruentes con 1 (mod q ) (donde q es un primo) son todos menores que q k +1 , entonces dicho número entero será divisible por cada primo y, por lo tanto, no puede existir. En cualquier caso, demostrar que el contraejemplo de Pomerance no existe está lejos de probar la conjetura de Carmichael. Sin embargo, si existe, entonces existen infinitos contraejemplos, como afirma Ford.
Otra forma de expresar la conjetura de Carmichael es que, si A ( f ) denota el número de enteros positivos n para los cuales φ ( n ) = f , entonces A ( f ) nunca puede ser igual a 1. De manera relacionada, Wacław Sierpiński conjeturó que todo entero positivo distinto de los demás mayor que 1 ocurre como un valor de A( f ), una conjetura que fue probada en 1999 por Kevin Ford. [2]
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