La conjetura de Vaught es una conjetura en el campo matemático de la teoría de modelos propuesta originalmente por Robert Lawson Vaught en 1961. Establece que el número de modelos contables de una teoría completa de primer orden en un lenguaje contable es finito o ℵ 0 o 2 ℵ 0 . Morley demostró que el número de modelos contables es finito o ℵ 0 o ℵ 1 o 2 ℵ 0 , lo que resuelve la conjetura excepto para el caso de ℵ 1 modelos cuando la hipótesis del continuo falla. Para este caso restante, Robin Knight (2002, 2007) ha anunciado un contraejemplo a la conjetura de Vaught y la conjetura topológica de Vaught. A fecha de 2021, el contraejemplo no ha sido verificado.
Sea una teoría completa, numerable y de primer orden con infinitos modelos. Sea el número de modelos de T de cardinalidad hasta el isomorfismo, el espectro de la teoría . Morley demostró que si I ( T , ℵ 0 ) es infinito, entonces debe ser ℵ 0 o ℵ 1 o la cardinalidad del continuo . La conjetura de Vaught es la afirmación de que no es posible para . La conjetura es una consecuencia trivial de la hipótesis del continuo ; por lo que este axioma se excluye a menudo en el trabajo sobre la conjetura. Alternativamente, existe una forma más aguda de la conjetura que establece que cualquier T completo contable con un número incontable de modelos contables tendrá un conjunto perfecto de modelos incontables (como señaló John Steel en "On Vaught's conjecture". Cabal Seminar 76–77 (Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976–77), pp. 193–208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlín, 1978, esta forma de la conjetura de Vaught es equiprobable con la original).
La formulación original de Vaught no fue planteada como una conjetura, sino como un problema: ¿puede probarse, sin el uso de la hipótesis del continuo, que existe una teoría completa que tiene exactamente ℵ 1 modelos numerables no isomorfos? Según el resultado de Morley mencionado al principio, una solución positiva a la conjetura corresponde esencialmente a una respuesta negativa al problema de Vaught tal como se planteó originalmente.
Vaught demostró que el número de modelos contables de una teoría completa no puede ser 2. Puede ser cualquier número finito distinto de 2, por ejemplo:
La idea de la demostración del teorema de Vaught es la siguiente. Si hay como máximo un número contable de modelos contables, entonces hay uno más pequeño: el modelo atómico , y uno más grande, el modelo saturado , que son diferentes si hay más de un modelo. Si son diferentes, el modelo saturado debe realizar algún tipo n omitido por el modelo atómico. Entonces se puede demostrar que un modelo atómico de la teoría de estructuras que realiza este tipo n (en un lenguaje expandido por un número finito de constantes) es un tercer modelo, no isomorfo ni al modelo atómico ni al saturado. En el ejemplo anterior con 3 modelos, el modelo atómico es aquel en el que la secuencia no está acotada, el modelo saturado es aquel en el que la secuencia converge, y un ejemplo de un tipo no realizado por el modelo atómico es un elemento mayor que todos los elementos de la secuencia.
La conjetura topológica de Vaught es la afirmación de que siempre que un grupo polaco actúa de forma continua en un espacio polaco , existen o bien un número contable de órbitas o bien un número continuo de órbitas. La conjetura topológica de Vaught es más general que la conjetura original de Vaught: dado un lenguaje contable, podemos formar el espacio de todas las estructuras sobre los números naturales para ese lenguaje. Si equipamos esto con la topología generada por fórmulas de primer orden, entonces se sabe por A. Gregorczyk , A. Mostowski , C. Ryll-Nardzewski , "Definibilidad de conjuntos de modelos de teorías axiomáticas" ( Boletín de la Academia Polaca de Ciencias (serie Matemáticas, Astronomía, Física) , vol. 9 (1961), pp. 163-7) que el espacio resultante es polaco. Existe una acción continua del grupo simétrico infinito (la colección de todas las permutaciones de los números naturales con la topología de convergencia puntual) que da lugar a la relación de equivalencia de isomorfismo. Dada una teoría completa de primer orden T , el conjunto de estructuras que satisface T es un conjunto invariante cerrado y mínimo , y por lo tanto polaco por derecho propio.
