Teorema de Wolstenholme

Resultado en teoría de números.

En matemáticas , el teorema de Wolstenholme establece que para un número primo , la congruencia ${\displaystyle p\geq 5}$

${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}$

se cumple, donde los paréntesis denotan un coeficiente binomial . Por ejemplo, con p = 7, esto dice que 1716 es uno más que un múltiplo de 343. El teorema fue demostrado por primera vez por Joseph Wolstenholme en 1862. En 1819, Charles Babbage demostró el mismo módulo de congruencia p ² , que se cumple para . Una formulación equivalente es la congruencia ${\displaystyle p\geq 3}$

${\displaystyle {ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\pmod {p^{3}}}}$

para , que se debe a Wilhelm Ljunggren ^[1] (y, en el caso especial , a JWL Glaisher ^{[ cita requerida ]} ) y está inspirado en el teorema de Lucas . ${\displaystyle p\geq 5}$ ${\displaystyle b=1}$

Ningún número compuesto conocido satisface el teorema de Wolstenholme y se conjetura que no los hay (ver más abajo). Un primo que satisface el módulo de congruencia p ⁴ se llama primo de Wolstenholme (ver más abajo).

Como estableció el propio Wolstenholme, su teorema también se puede expresar como un par de congruencias para números armónicos (generalizados) :

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\dots +{1 \over p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}{\mbox{, and}}}$

${\displaystyle 1+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+\dots +{1 \over (p-1)^{2}}\equiv 0{\pmod {p}}.}$

(Las congruencias con fracciones tienen sentido, siempre que los denominadores sean coprimos con respecto al módulo). Por ejemplo, con p =7, el primero de ellos dice que el numerador de 49/20 es múltiplo de 49, mientras que el segundo dice que el numerador de 5369/3600 es múltiplo de 7.

primos de Wolstenholme

Un primo p se llama primo de Wolstenholme si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}.}$

Si p es un primo de Wolstenholme , entonces el teorema de Glaisher cumple el módulo p ⁴ . Los únicos primos de Wolstenholme conocidos hasta el momento son 16843 y 2124679 (secuencia A088164 en la OEIS ); cualquier otro primo de Wolstenholme debe ser mayor que 10 ⁹ . ^[2] Este resultado es consistente con el argumento heurístico de que el módulo residual p ⁴ es un múltiplo pseudoaleatorio de p ³ . Esta heurística predice que el número de números primos de Wolstenholme entre K y N es aproximadamente ln ln N − ln ln K. La condición de Wolstenholme se ha comprobado hasta 10 ⁹ y la heurística dice que debería haber aproximadamente un primo de Wolstenholme entre 10 ⁹ y 10 ²⁴ . Una heurística similar predice que no hay primos "doblemente Wolstenholme", ​​para los cuales la congruencia se mantendría en módulo p ⁵ .

Una prueba del teorema

Hay más de una forma de demostrar el teorema de Wolstenholme. Aquí hay una prueba que establece directamente la versión de Glaisher usando combinatoria y álgebra.

Por el momento, sea p cualquier número primo y sean a y b números enteros no negativos. Luego, un conjunto A con elementos p se puede dividir en anillos de longitud p y los anillos se pueden girar por separado. Así, la suma directa a veces del grupo cíclico de orden p actúa sobre el conjunto A y, por extensión, actúa sobre el conjunto de subconjuntos de tamaño bp . Cada órbita de esta acción grupal tiene p ^k elementos, donde k es el número de anillos incompletos, es decir, si hay k anillos que sólo intersecan parcialmente un subconjunto B en la órbita. Hay órbitas de tamaño 1 y no hay órbitas de tamaño p . Así obtenemos primero el teorema de Babbage. ${\displaystyle \textstyle {a \choose b}}$

${\displaystyle {ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\pmod {p^{2}}}.}$

Examinando las órbitas de tamaño p ² , también obtenemos

${\displaystyle {ap \choose bp}\equiv {a \choose b}+{a \choose 2}\left({2p \choose p}-2\right){a-2 \choose b-1}{\pmod {p^{3}}}.}$

Entre otras consecuencias, esta ecuación nos dice que el caso a=2 y b=1 implica el caso general de la segunda forma del teorema de Wolstenholme.

Pasando de la combinatoria al álgebra, ambos lados de esta congruencia son polinomios en a para cada valor fijo de b . Por lo tanto, la congruencia se cumple cuando a es cualquier número entero, positivo o negativo, siempre que b sea un número entero positivo fijo. En particular, si a=-1 y b=1 , la congruencia se vuelve

${\displaystyle {-p \choose p}\equiv {-1 \choose 1}+{-1 \choose 2}\left({2p \choose p}-2\right){\pmod {p^{3}}}.}$

Esta congruencia se convierte en una ecuación para usar la relación ${\displaystyle \textstyle {2p \choose p}}$

${\displaystyle {-p \choose p}={\frac {(-1)^{p}}{2}}{2p \choose p}.}$

Cuando p es impar, la relación es

${\displaystyle 3{2p \choose p}\equiv 6{\pmod {p^{3}}}.}$

Cuando p ≠3, podemos dividir ambos lados por 3 para completar el argumento.

Una derivación similar módulo p ⁴ establece que

${\displaystyle {ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\pmod {p^{4}}}}$

para todos a y b positivos si y sólo si se cumple cuando a=2 y b=1 , es decir, si y sólo si p es un primo de Wolstenholme.

Lo contrario como conjetura

Se conjetura que si

cuando k=3 , entonces n es primo. La conjetura se puede entender considerando k = 1 y 2 así como 3. Cuando k = 1, el teorema de Babbage implica que se cumple para n = p ² para p un primo impar, mientras que el teorema de Wolstenholme implica que se cumple para n = p ³ para p > 3, y se cumple para n = p ⁴ si p es un primo de Wolstenholme. Cuando k = 2, se cumple para n = p ² si p es un primo de Wolstenholme. Estos tres números, 4 = 2 ² , 8 = 2 ³ y 27 = 3 ³ no se cumplen para ( 1 ) con k = 1, pero todos los demás cuadrados primos y cubos primos se mantienen para ( 1 ) con k = 1. Sólo se sabe que otros cinco valores compuestos (ni cuadrado primo ni cubo primo) de n son válidos para ( 1 ) con k = 1, se llaman pseudoprimos de Wolstenholme , son

27173, 2001341, 16024189487, 80478114820849201, 20378551049298456998947681, ... (secuencia A082180 en el OEIS )

Los tres primeros no son poderes primos (secuencia A228562 en la OEIS ), los dos últimos son 16843 ⁴ y 2124679 ⁴ , 16843 y 2124679 son primos de Wolstenholme (secuencia A088164 en la OEIS ). Además, con excepción de 16843 ² y 2124679 ² , no se sabe que ningún compuesto sea válido para ( 1 ) con k = 2, y mucho menos k = 3. Por lo tanto, la conjetura se considera probable porque la congruencia de Wolstenholme parece demasiado limitada y artificial para compuestos números. Además, si la congruencia se cumple para cualquier n particular que no sea un primo o una potencia primaria, y cualquier k particular , no implica que

${\displaystyle {an \choose bn}\equiv {a \choose b}{\pmod {n^{k}}}.}$

El número de pseudoprimos de Wolstenholme hasta es , por lo que la suma de los recíprocos de esos números converge. La constante se deriva de la existencia de sólo tres pseudoprimos de Wolstenholme hasta . El número de pseudoprimos de Wolstenholme hasta debería ser al menos 7 si la suma de sus recíprocos diverge, y dado que esto no se cumple porque solo hay 3 de ellos en este rango, la función de conteo de estos pseudoprimos es como máximo para algunos computables eficientemente. constante ; podemos tomar como . La constante en la notación O grande también es efectivamente computable en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle O(x^{1/2}\log(\log(x))^{499712})}$ ${\displaystyle 499712}$ ${\displaystyle 10^{12}}$ ${\displaystyle 10^{12}}$ ${\displaystyle O(x^{1/2}\log(\log(x))^{C})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 499712}$ ${\displaystyle O(x^{1/2}\log(\log(x))^{499712})}$

Generalizaciones

Leudesdorf ha demostrado que para un entero positivo n coprimo a 6, se cumple la siguiente congruencia: ^[3]

${\displaystyle \sum _{i=1 \atop (i,n)=1}^{n-1}{\frac {1}{i}}\equiv 0{\pmod {n^{2}}}.}$

Ver también

• El pequeño teorema de Fermat
• teorema de wilson
• Wieferich principal
• wilson prima
• Pared-Sol-Sol principal
• Lista de clases especiales de números primos
• Tabla de congruencias

Notas

1. Granville, Andrew (1997), "Coeficientes binomiales módulo de potencias primas" (PDF) , Actas de la conferencia de la Sociedad Canadiense de Matemáticas , 20 : 253–275, MR  1483922, archivado desde el original (PDF) el 2 de febrero de 2017
2. McIntosh, RJ; Roettger, EL (2007), "Una búsqueda de números primos de Fibonacci-Wieferich y Wolstenholme", ​​Matemáticas de la Computación , 76 (260): 2087–2094, Bibcode :2007MaCom..76.2087M, CiteSeerX 10.1.1.105.9393 , doi :10.1090 /S0025-5718-07-01955-2 
3. Leudesdorf, C. (1888). "Algunos resultados de la teoría elemental de los números". Proc. Matemáticas de Londres. Soc . 20 : 199–212. doi :10.1112/plms/s1-20.1.199.

Referencias

• Babbage, C. (1819), "Demostración de un teorema relacionado con los números primos", The Edinburgh Philosophical Journal , 1 : 46–49.
• Glaisher, JWL (1900), "Congruencias relacionadas con las sumas de productos de los primeros n números y con otras sumas de productos", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 1–35.
• Glaisher, JWL (1900), "Residuos de coeficientes del teorema binomial con respecto a p ³ ", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 110–124.
• Glaisher, JWL (1900), "Sobre los residuos de las sumas de productos de los primeros p-1 números, y sus potencias, hasta el módulo p ² o p ³ ", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 321– 353.
• Granville, Andrew (1997), "Coeficientes binomiales módulo de potencias primas" (PDF) , Actas de la conferencia de la Sociedad Canadiense de Matemáticas , 20 : 253–275, MR  1483922, archivado desde el original (PDF) el 2 de febrero de 2017.
• McIntosh, RJ (1995), "A la inversa del teorema de Wolstenholme" (PDF) , Acta Arithmetica , 71 (4): 381–389, doi : 10.4064/aa-71-4-381-389.
• R. Mestrovic, El teorema de Wolstenholme: sus generalizaciones y ampliaciones en los últimos ciento cincuenta años (1862—2012).
• Wolstenholme, Joseph (1862), "Sobre ciertas propiedades de los números primos", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 5 : 35–39.

Enlaces externos

• El glosario Prime: Wolstenholme Prime
• Estado de la búsqueda de números primos de Wolstenholme