Grupo libre de envidia

La ausencia de envidia de grupo ^[1] (también llamada: equidad de coalición ) ^[2] es un criterio para una división justa . Una división sin envidia de grupo es una división de un recurso entre varios socios de manera que cada grupo de socios sienta que su parte asignada es al menos tan buena como la parte de cualquier otro grupo con el mismo tamaño. El término se utiliza particularmente en problemas como la asignación justa de recursos , el reparto justo de la torta y la asignación justa de artículos .

La ausencia de envidia de grupo es un requisito de equidad muy fuerte: una asignación libre de envidia de grupo es a la vez libre de envidia y eficiente en términos de Pareto , pero lo opuesto no es cierto.

Definiciones

Consideremos un conjunto de n agentes. Cada agente i recibe una determinada asignación X _i (por ejemplo, un trozo de tarta o un conjunto de recursos). Cada agente i tiene una determinada relación de preferencia subjetiva < _i sobre trozos/conjuntos (es decir, significa que el agente i prefiere el trozo X al trozo Y ). ${\displaystyle X<_{i}Y}$

Consideremos un grupo G de agentes, con su asignación actual . Decimos que el grupo G prefiere una porción Y a su asignación actual, si existe una partición de Y entre los miembros de G : , tal que al menos un agente i prefiere su nueva asignación sobre su asignación anterior ( ), y ningún agente prefiere su asignación anterior sobre su nueva asignación. ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in G}}$ ${\displaystyle \{Y_{i}\}_{i\in G}}$ ${\displaystyle X_{i}<_{i}Y_{i}}$

Consideremos dos grupos de agentes, G y H , cada uno con el mismo número k de agentes. Decimos que el grupo G envidia al grupo H si el grupo G prefiere la asignación común del grupo H (es decir, ) a su asignación actual. ${\displaystyle \cup _{i\in H}{X_{i}}}$

Una asignación { X ₁ , ..., X _n } se denomina libre de envidia de grupo si no hay ningún grupo de agentes que envidie a otro grupo con el mismo número de agentes.

Relación con otros criterios

Una asignación libre de envidia de grupo también está libre de envidia , ya que G y H pueden ser grupos con un solo agente.

Una asignación libre de envidia de grupo también es eficiente en términos de Pareto , ya que G y H pueden ser el grupo completo de todos los n agentes.

La ausencia de envidia grupal es más fuerte que la combinación de estos dos criterios, ya que se aplica también a grupos de 2, 3, ..., n -1 agentes.

Existencia

En los contextos de asignación de recursos , existe una asignación sin envidia de grupo. Además, se puede alcanzar como un equilibrio competitivo con dotaciones iniciales iguales. ^{[3] [4] [2]}

En situaciones de reparto justo de la torta , existe una asignación sin envidia de grupo si las relaciones de preferencia están representadas por medidas de valor continuas positivas. Es decir, cada agente i tiene una determinada función V _i que representa el valor de cada porción de torta, y todas esas funciones son aditivas y no atómicas. ^[1]

Además, existe una asignación libre de envidia de grupo si las relaciones de preferencia están representadas por preferencias sobre medidas vectoriales finitas . Es decir, cada agente i tiene una determinada función vectorial V _i , que representa los valores de las diferentes características de cada porción de pastel, y todos los componentes en cada una de esas funciones vectoriales son aditivos y no atómicos, y además la relación de preferencia sobre los vectores es continua, monótona y convexa. ^[5]

Definición alternativa

Aleksandrov y Walsh ^[6] utilizan el término "ausencia de envidia grupal" en un sentido más débil. Suponen que cada grupo G evalúa su asignación combinada como la media aritmética de las utilidades de sus miembros, es decir:

${\displaystyle u_{G}(X_{G}):={\frac {1}{|G|}}\sum _{i\in G}u_{i}(X_{i})}$

y evalúa la asignación combinada de cada otro grupo H como la media aritmética de las valoraciones, es decir:

${\displaystyle u_{G}(X_{H}):={\frac {1}{|G|\cdot |H|}}\sum _{i\in G}\sum _{j\in H}u_{i}(X_{j})}$

Por su definición, una asignación está libre de envidia de grupos g,h (GEF _g,h ) si para todos los grupos G de tamaño g y todos los grupos H de tamaño h :

${\displaystyle u_{G}(X_{G})\geq u_{G}(X_{H})}$

GEF _1,1 es equivalente a ausencia de envidia ; GEF _1,n es equivalente a proporcionalidad ; GEF _n,n se satisface trivialmente con cualquier asignación. Para cada g y h , GEF _g,h implica GEF _g,h+1 y GEF _g+1,h . Las implicaciones son estrictas para 3 o más agentes; para 2 agentes, GEF _g,h para todos los g , h son equivalentes a ausencia de envidia. Según esta definición, ausencia de envidia de grupo no implica eficiencia de Pareto. Definen una asignación X como k-grupo-Pareto-eficiente (GPE _k ) si no hay otra asignación Y que sea al menos tan buena para todos los grupos de tamaño k , y estrictamente mejor para al menos un grupo de tamaño k , es decir, todos los grupos G de tamaño k :

${\displaystyle u_{G}(Y_{G})\geq u_{G}(X_{G})}$

y para al menos un grupo G de tamaño k :

${\displaystyle u_{G}(Y_{G})>u_{G}(X_{G})}$.

GPE ₁ es equivalente a la eficiencia de Pareto. GPE _n es equivalente a la asignación utilitarista-máxima , ya que para el gran grupo G de tamaño n , la utilidad u _G es equivalente a la suma de las utilidades de todos los agentes. Para todos los k , GPE _k+1 implica GPE _k . La implicación inversa no es cierta ni siquiera con dos agentes. También consideran nociones aproximadas de estas propiedades de justicia y eficiencia, y su precio de justicia .

Véase también

• División justa entre grupos : una variante de división justa en la que las partes del recurso se entregan a grupos predeterminados en lugar de a individuos.

Referencias

1. Berliant, M.; Thomson, W.; Dunz, K. (1992). "Sobre la división justa de un producto heterogéneo". Journal of Mathematical Economics . 21 (3): 201. doi :10.1016/0304-4068(92)90001-n.
2. Varian, HR (1974). "Equidad, envidia y eficiencia" (PDF) . Journal of Economic Theory . 9 : 63–91. doi :10.1016/0022-0531(74)90075-1. hdl : 1721.1/63490 .
3. Vind, K (1971). Apuntes de clase de Economía . Universidad de Stanford.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
4. Schmeidler, D.; Vind, K. (1972). "Comercios netos justos". Econométrica . 40 (4): 637. doi : 10.2307/1912958. JSTOR  1912958.
5. Husseinov, F. (2011). "Una teoría de una economía de intercambio de mercancías heterogénea y divisible". Journal of Mathematical Economics . 47 : 54–59. doi :10.1016/j.jmateco.2010.12.001. hdl : 11693/12257 .
6. Aleksandrov, Martin; Walsh, Toby (2018). "Libertad de envidia grupal y eficiencia de Pareto grupal en divisiones justas con elementos indivisibles". En Trollmann, Frank; Turhan, Anni-Yasmin (eds.). KI 2018: Avances en inteligencia artificial . Apuntes de clase en informática. Vol. 11117. Cham: Springer International Publishing. págs. 57–72. doi :10.1007/978-3-030-00111-7_6. ISBN 978-3-030-00111-7. Número de identificación del sujeto  52288825.