Acción grupal transitiva multiplicativa

Concepto en la teoría de grupos

Un grupo actúa de forma 2-transitiva sobre un conjunto si actúa de forma transitiva sobre el conjunto de pares ordenados distintos . Es decir, suponiendo (sin pérdida real de generalidad) que actúa a la izquierda de , para cada par de pares con y , existe un tal que . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{(x,y)\in S\times S:x\neq y\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (x,y),(w,z)\in S\times S}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle w\neq z}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g(x,y)=(w,z)}$

La acción grupal es marcadamente 2 -transitiva si es única. ${\displaystyle g\in G}$

Un grupo 2-transitivo es un grupo tal que existe una acción grupal que es 2-transitiva y fiel. De manera similar, podemos definir claramente el grupo 2 -transitivo .

De manera equivalente, y , ya que la acción inducida sobre el conjunto distinto de pares es . ${\displaystyle gx=w}$ ${\displaystyle gy=z}$ ${\displaystyle g(x,y)=(gx,gy)}$

La definición funciona en general con k reemplazando a 2. Dichos grupos de permutación transitivos múltiples se pueden definir para cualquier número natural k . Específicamente, un grupo de permutación G que actúa sobre n puntos es k -transitivo si, dados dos conjuntos de puntos a ₁ , ... a _k y b ₁ , ... b _k con la propiedad de que todos los a _i son distintos y todos los b _i son distintos , hay un elemento de grupo g en G que mapea a _i a b _i para cada i entre 1 y k . Los grupos de Mathieu son ejemplos importantes.

Ejemplos

Todo grupo es trivialmente 1-transitivo, por su acción sobre sí mismo por multiplicación por la izquierda.

Sea el grupo simétrico que actúa sobre , entonces la acción es marcadamente n-transitiva. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{1,...,n\}}$

El grupo de traslaciones de homotecia n-dimensionales actúa de forma 2-transitiva sobre . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El grupo de transformadas proyectivas n-dimensionales actúa casi de forma brusca (n+2)-transitiva sobre el espacio proyectivo real n-dimensional . El casi se debe a que los (n+2) puntos deben estar en posición lineal general . En otras palabras, las transformadas proyectivas n-dimensionales actúan de forma transitiva sobre el espacio de marcos proyectivos de . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$

Clasificaciones de grupos 2-transitivos

Todo grupo 2-transitivo es un grupo primitivo , pero no a la inversa. Todo grupo de Zassenhaus es 2-transitivo, pero no a la inversa. Los grupos 2-transitivos resolubles fueron clasificados por Bertram Huppert y se describen en la lista de grupos lineales finitos transitivos . Los grupos insolubles fueron clasificados por (Hering 1985) utilizando la clasificación de grupos simples finitos y son todos grupos casi simples .

Véase también

• Grupo transitivo de multiplicación

Referencias

• Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Grupos de permutación , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 163, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94599-6, Sr.  1409812
• Hering, Christoph (1985), "Grupos lineales transitivos y grupos lineales que contienen subgrupos irreducibles de orden primo. II", Journal of Algebra , 93 (1): 151–164, doi : 10.1016/0021-8693(85)90179-6 , ISSN  0021-8693, MR  0780488
• Huppert, Bertram (1957), "Zweifach transitive, auflösbare Permutationsgruppen", Mathematische Zeitschrift , 68 : 126–150, doi :10.1007/BF01160336, ISSN  0025-5874, SEÑOR  0094386
• Huppert, Bertram; Blackburn, Norman (1982), Grupos finitos. III. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 243, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10633-2, Sr.  0650245
• Johnson, Norman L.; Jha, Vikram; Biliotti, Mauro (2007), Manual de planos de traslación finitos , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 289, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-605-1, Sr.  2290291