MÚSICA (algoritmo)

Algoritmo utilizado para la estimación de frecuencia y radiogoniometría.

La radiogoniometría mediante el algoritmo MUSIC

MÚSICA ( Clasificación de señales múltiples ) es un algoritmo utilizado para la estimación de frecuencia ^{[1] [2] [3]} y radiogoniometría . ^[4]

Historia

En muchos problemas prácticos de procesamiento de señales, el objetivo es estimar a partir de mediciones un conjunto de parámetros constantes de los que dependen las señales recibidas. Ha habido varios enfoques para estos problemas, incluido el llamado método de máxima verosimilitud (ML) de Capon (1969) y el método de máxima entropía (ME) de Burg. Aunque a menudo tienen éxito y se utilizan ampliamente, estos métodos tienen ciertas limitaciones fundamentales (especialmente el sesgo y la sensibilidad en las estimaciones de los parámetros), en gran parte porque utilizan un modelo incorrecto (p. ej., AR en lugar de ARMA especial ) de las mediciones.

Pisarenko (1973) fue uno de los primeros en explotar la estructura del modelo de datos, haciéndolo en el contexto de la estimación de parámetros de sinusoides complejas en ruido aditivo utilizando un enfoque de covarianza. Schmidt (1977), mientras trabajaba en Northrop Grumman e independientemente, Bienvenu y Kopp (1979) fueron los primeros en explotar correctamente el modelo de medición en el caso de conjuntos de sensores de forma arbitraria. Schmidt, en particular, logró esto derivando primero una solución geométrica completa en ausencia de ruido, y luego ampliando hábilmente los conceptos geométricos para obtener una solución aproximada razonable en presencia de ruido. El algoritmo resultante se denominó MUSIC (Clasificación de señales múltiples) y ha sido ampliamente estudiado.

En una evaluación detallada basada en miles de simulaciones, el Laboratorio Lincoln del Instituto Tecnológico de Massachusetts concluyó en 1998 que, entre los algoritmos de alta resolución actualmente aceptados, MUSIC era el más prometedor y el principal candidato para estudios posteriores e implementación real en hardware. ^[5] Sin embargo, aunque las ventajas de rendimiento de MUSIC son sustanciales, se logran a un costo en cálculo (búsqueda en el espacio de parámetros) y almacenamiento (de datos de calibración de matriz). ^[6]

Teoría

El método MUSIC supone que un vector de señal, consta de exponenciales complejos, cuyas frecuencias se desconocen, en presencia de ruido blanco gaussiano, como lo indica el modelo lineal. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {s} +\mathbf {n} .}$

Aquí hay una matriz de Vandermonde de vectores de dirección y es el vector de amplitud. Una suposición crucial es que el número de fuentes, es menor que el número de elementos en el vector de medición, es decir . ${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\omega _{1}),\cdots ,\mathbf {a} (\omega _{p})]}$ ${\displaystyle M\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\omega )=[1,e^{j\omega },e^{j2\omega },\ldots ,e^{j(M-1)\omega }]^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =[s_{1},\ldots ,s_{p}]^{T}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p<M}$

La matriz de autocorrelación de viene dada por ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {R} _{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{H}+\sigma ^{2}\mathbf {I} ,}$

donde es la varianza del ruido, es la matriz de identidad y es la matriz de autocorrelación de . ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{s}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$

La matriz de autocorrelación se estima tradicionalmente utilizando una matriz de correlación muestral. ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {R} }}_{x}={\frac {1}{N}}\mathbf {X} \mathbf {X} ^{H}}$

donde es el número de observaciones vectoriales y . Dada la estimación de , MUSIC estima el contenido de frecuencia de la señal o matriz de autocorrelación utilizando un método de espacio propio . ${\displaystyle N>M}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{N}]}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$

Como es una matriz hermitiana, todos sus vectores propios son ortogonales entre sí. Si los valores propios de se ordenan en orden decreciente, los vectores propios correspondientes a los valores propios más grandes (es decir, direcciones de mayor variabilidad) abarcan el subespacio de señal . Los vectores propios restantes corresponden a valores propios iguales y abarcan el subespacio de ruido , que es ortogonal al subespacio de señal . ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{M}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{p}\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle M-p}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}\perp {\mathcal {U}}_{N}}$

Tenga en cuenta que , para MÚSICA, es idéntica a la descomposición armónica de Pisarenko . La idea general detrás del método MUSIC es utilizar todos los vectores propios que abarcan el subespacio de ruido para mejorar el rendimiento del estimador de Pisarenko. ${\displaystyle M=p+1}$

Dado que cualquier vector de señal que resida en el subespacio de señal debe ser ortogonal al subespacio de ruido, debe serlo para todos los vectores propios que abarcan el subespacio de ruido. Para medir el grado de ortogonalidad de con respecto a todos los , el algoritmo MUSIC define una norma al cuadrado ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} \perp {\mathcal {U}}_{N}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} \perp \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{i}\}_{i=p+1}^{M}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\in {\mathcal {U}}_{N}}$

${\displaystyle d^{2}=\|\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} \|^{2}=\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} =\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}$

donde la matriz es la matriz de vectores propios que abarcan el subespacio de ruido . Si , entonces como lo implica la condición de ortogonalidad. Tomar un recíproco de la expresión de la norma al cuadrado crea picos agudos en las frecuencias de la señal. La función de estimación de frecuencia para MÚSICA (o el pseudoespectro) es ${\displaystyle \mathbf {U} _{N}=[\mathbf {v} _{p+1},\ldots ,\mathbf {v} _{M}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle {\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega })={\frac {1}{\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} }}={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}},}$

¿Dónde están los vectores propios del ruido y ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\begin{bmatrix}1&e^{j\omega }&e^{j2\omega }&\cdots &e^{j(M-1)\omega }\end{bmatrix}}^{T}}$

es el vector de dirección candidato. Las ubicaciones de los picos más grandes de la función de estimación dan las estimaciones de frecuencia para los componentes de la señal. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\hat {\omega }}=\arg \max _{\omega }\;{\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega }).}$

La MÚSICA es una generalización del método de Pisarenko , y se reduce al método de Pisarenko cuando . En el método de Pisarenko, sólo se utiliza un único vector propio para formar el denominador de la función de estimación de frecuencia; y el vector propio se interpreta como un conjunto de coeficientes autorregresivos , cuyos ceros se pueden encontrar analíticamente o con algoritmos de búsqueda de raíces polinómicas. Por el contrario, MUSIC supone que varias de estas funciones se han sumado, por lo que es posible que no haya ceros. En cambio, existen mínimos locales, que pueden ubicarse buscando computacionalmente picos en la función de estimación. ${\displaystyle M=p+1}$

Dimensión del espacio de la señal.

La observación fundamental en la que se basan MUSIC y otros métodos de descomposición subespacial es sobre el rango de la matriz de autocorrelación que se relaciona con el número de fuentes de señal de la siguiente manera. ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$ ${\displaystyle p}$

Si las fuentes son complejas, entonces y la dimensión del subespacio de la señal es . Si las fuentes son reales, entonces la dimensión del subespacio de la señal es , es decir, cada sinusoide real es generada por dos vectores base. ${\displaystyle M>p}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M>2p}$ ${\displaystyle 2p}$

Este resultado fundamental, aunque a menudo se omite en los libros de análisis espectral, es una razón por la cual la señal de entrada se puede distribuir en vectores propios subespaciales de señales que abarcan ( para señales con valores reales) y vectores propios subespaciales de ruido que abarcan . Se basa en la teoría de incrustación de señales ^{[2] [7]} y también puede explicarse mediante la teoría topológica de variedades . ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$

Comparación con otros métodos

MUSIC supera a métodos simples como seleccionar picos de espectros DFT en presencia de ruido, cuando el número de componentes se conoce de antemano, porque aprovecha el conocimiento de este número para ignorar el ruido en su informe final.

A diferencia de DFT, es capaz de estimar frecuencias con una precisión superior a una muestra, porque su función de estimación se puede evaluar para cualquier frecuencia, no solo las de los contenedores DFT. Esta es una forma de superresolución .

Su principal desventaja es que requiere conocer de antemano el número de componentes, por lo que el método original no se puede utilizar en casos más generales. Existen métodos para estimar el número de componentes fuente únicamente a partir de propiedades estadísticas de la matriz de autocorrelación. Véase, por ejemplo, ^[8] Además, MUSIC supone que las fuentes coexistentes no están correlacionadas, lo que limita sus aplicaciones prácticas.

Los métodos semiparamétricos iterativos recientes ofrecen una superresolución sólida a pesar de fuentes altamente correlacionadas, por ejemplo, SAMV ^{[9] [10]}

Otras aplicaciones

Recientemente se ha aplicado una versión modificada de MUSIC, denominada Time-Reversal MUSIC (TR-MUSIC), a las imágenes computacionales de inversión de tiempo. ^{[11] [12]} El algoritmo MUSIC también se ha implementado para la detección rápida de las frecuencias DTMF ( señalización multifrecuencia de doble tono ) en forma de biblioteca C - libmusic ^[13] (incluso para la implementación de MATLAB). ^[14]

Ver también

• Estimación de densidad espectral
• Periodograma
• Filtro coincidente
• El método de Welch.
• El método de Bartlett.
• SAMV (algoritmo)
• Radiogoniometría
• Algoritmo de detección de tono
• Microscopía de alta resolución

Referencias

1. Hayes, Monson H., Modelado y procesamiento estadístico de señales digitales , John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN  0-471-59431-8 .
2. Gregor, Piotr (2022). Zastosowanie algorytmu MUSIC do wykrywania DTMF [ Aplicación del algoritmo MUSIC a la detección DTMF ] (Tesis) (en polaco). Universidad Tecnológica de Varsovia.
3. Costanzo, Sandra; Buonanno, Giovanni; Solimene, Raffaele (2022). "Enfoque espectral de superresolución para mejorar la precisión de los sensores de microondas resonantes biomédicos". Revista IEEE de electromagnética, RF y microondas en medicina y biología . 6 (4): 539–545. doi :10.1109/JERM.2022.3210457. ISSN  2469-7249. S2CID  252792474.
4. Schmidt, RO, "Estimación de parámetros de señal y ubicación de múltiples emisores", IEEE Trans. Propagación de antenas, vol. AP-34 (marzo de 1986), págs. 276–280.
5. Barrabell, AJ (1998). "Comparación de rendimiento de algoritmos de procesamiento de matrices de superresolución. Revisado" (PDF) . Instituto de Tecnología de Massachusetts Laboratorio Lincoln de Lexington . Archivado (PDF) desde el original el 25 de mayo de 2021.
6. R. Roy y T. Kailath, "Estimación ESPRIT de parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional", en IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. 37, núm. 7, págs. 984–995, julio de 1989.
7. Penny, WD (2009), Curso de procesamiento de señales, University College London, notas de conferencias año académico 1999-2000
8. Fishler, Eran y H. Vincent Poor. "Estimación del número de fuentes en conjuntos desequilibrados mediante criterios teóricos de la información". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales 53.9 (2005): 3543–3553.
9. Abeida, Habti; Zhang, Qilin; Li, Jian; Merabtine, Nadjim (2013). "Enfoques iterativos basados ​​en varianza mínima asintótica escasa para el procesamiento de matrices". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 61 (4). Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE): 933–944. arXiv : 1802.03070 . Código Bib : 2013ITSP...61..933A. doi :10.1109/tsp.2012.2231676. ISSN  1053-587X. S2CID  16276001.
10. Zhang, Qilin; Abeida, Habti; Xue, Ming; Rowe, Guillermo; Li, Jian (2012). "Implementación rápida de una estimación iterativa escasa basada en covarianza para la localización de fuentes". La Revista de la Sociedad de Acústica de América . 131 (2): 1249-1259. Código Bib : 2012ASAJ..131.1249Z. doi : 10.1121/1.3672656. PMID  22352499.
11. Devaney, AJ (1 de mayo de 2005). "Imágenes de inversión de tiempo de objetivos oscurecidos a partir de datos multiestáticos". Transacciones IEEE sobre antenas y propagación . 53 (5): 1600-1610. Código Bib : 2005ITAP...53.1600D. doi :10.1109/TAP.2005.846723. ISSN  0018-926X. S2CID  25241225.
12. Ciuonzo, D.; Romano, G.; Solimene, R. (1 de mayo de 2015). "Análisis de rendimiento de MÚSICA con inversión de tiempo". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 63 (10): 2650–2662. Código Bib : 2015ITSP...63.2650C. doi :10.1109/TSP.2015.2417507. ISSN  1053-587X. S2CID  5895440.
13. "libmusic: una potente biblioteca C para análisis espectral". Datos y Señal . 2023.
14. "libmusic_m: implementación de MATLAB". Datos y Señal . 2023. MathWorks.

Otras lecturas

• La estimación y el seguimiento de la frecuencia, Quinn y Hannan, Cambridge University Press 2001.