En teoría de conjuntos , un árbol de Kurepa es un árbol ( T , <) de altura ω 1 , cada uno de cuyos niveles es contable , y tiene al menos ℵ 2 ramas. Este concepto fue introducido por Kurepa (1935). La existencia de un árbol de Kurepa (conocida como la hipótesis de Kurepa , aunque Kurepa originalmente conjeturó que esto era falso) es consistente con los axiomas de ZFC : Solovay mostró en un trabajo inédito que hay árboles de Kurepa en el universo construible de Gödel (Jech 1971). Más precisamente, la existencia de árboles de Kurepa se sigue del principio de diamante plus , que se cumple en el universo construible. Por otro lado, Silver (1971) mostró que si un cardinal fuertemente inaccesible es Lévy colapsado a ω 2 entonces, en el modelo resultante, no hay árboles de Kurepa. La existencia de un cardinal inaccesible es de hecho equiconsistente con el fracaso de la hipótesis de Kurepa, porque si la hipótesis de Kurepa es falsa entonces el cardinal ω 2 es inaccesible en el universo construible.
Un árbol Kurepa con menos de 2 ℵ 1 ramas se conoce como árbol Jech–Kunen .
De manera más general, si κ es un cardinal infinito, entonces un árbol κ-Kurepa es un árbol de altura κ con más de κ ramas pero como máximo |α| elementos de cada nivel infinito α<κ, y la hipótesis de Kurepa para κ es la afirmación de que existe un árbol κ-Kurepa. A veces también se supone que el árbol es binario. La existencia de un árbol κ-Kurepa binario es equivalente a la existencia de una familia Kurepa : un conjunto de más de κ subconjuntos de κ tales que sus intersecciones con cualquier ordinal infinito α<κ forman un conjunto de cardinalidad como máximo α. La hipótesis de Kurepa es falsa si κ es un cardinal inefable y, a la inversa, Jensen demostró que en el universo construible para cualquier cardinal regular incontable κ existe un árbol κ-Kurepa a menos que κ sea inefable.
Un árbol Kurepa puede ser "eliminado" forzando la existencia de una función cuyo valor en cualquier nodo que no sea raíz sea un ordinal menor que el rango del nodo, de modo que siempre que tres nodos, uno de los cuales es un límite inferior para los otros dos, se asignen al mismo ordinal, entonces los tres nodos serán comparables. Esto puede hacerse sin colapsar ℵ 1 y da como resultado un árbol con exactamente ℵ 1 ramas.