En geometría , la configuración de Kummer , llamada así por Ernst Kummer , es una configuración geométrica de 16 puntos y 16 planos de manera que cada punto se encuentra en 6 de los planos y cada plano contiene 6 de los puntos. Además, cada par de puntos incide exactamente en dos planos, y cada dos planos se intersecan exactamente en dos puntos. Por lo tanto, la configuración es un biplano , específicamente, un diseño 2−(16,6,2). Los 16 nodos y 16 tropos de una superficie de Kummer forman una configuración de Kummer. [1]
Existen tres formas diferentes, no isomorfas, de seleccionar 16 conjuntos 6 diferentes de 16 elementos que satisfacen las propiedades anteriores, es decir, que forman un biplano. La más simétrica de las tres es la configuración de Kummer, también llamada "el mejor biplano" en 16 puntos. [2]
Siguiendo el método de Jordan (1869), pero véase también Assmus y Sardi (1981), [2] se disponen los 16 puntos (por ejemplo, los números del 1 al 16) en una cuadrícula de 4x4. Para cada elemento, se toman los otros 3 puntos de la misma fila y los otros 3 puntos de la misma columna y se combinan en un conjunto de 6. Esto crea un bloque de 6 elementos para cada punto.
Consideremos dos puntos en la misma fila o columna. Hay otros dos puntos en esa fila o columna que aparecen en los bloques para ambos puntos de partida, por lo tanto, esos bloques se intersecan en dos puntos. Ahora consideremos dos puntos que no están en la misma fila o columna. Sus bloques correspondientes se intersecan en dos puntos que forman un rectángulo con los dos puntos de partida. Por lo tanto, todos los bloques se intersecan en dos puntos. Al examinar los bloques correspondientes a esos puntos de intersección, se ve que hay dos puntos de partida cualesquiera en dos bloques.
Hay exactamente 11520 permutaciones de los 16 puntos que devuelven los mismos bloques. [3] [4] Además, intercambiar las etiquetas de los bloques con las etiquetas de los puntos produce otro automorfismo de tamaño 2, lo que da como resultado 23040 automorfismos.