Teorema de Krener

En matemáticas, el teorema de Krener es un resultado atribuido a Arthur J. Krener en la teoría de control geométrico sobre las propiedades topológicas de los conjuntos alcanzables de los sistemas de control de dimensión finita. Afirma que cualquier conjunto alcanzable de un sistema generador de corchetes tiene un interior no vacío o, equivalentemente, que cualquier conjunto alcanzable tiene un interior no vacío en la topología de la órbita correspondiente . Heurísticamente, el teorema de Krener prohíbe que los conjuntos alcanzables sean peludos .

Teorema

Sea un sistema de control suave, donde pertenece a una variedad de dimensión finita y pertenece a un conjunto de control . Considérese la familia de campos vectoriales . ${\displaystyle {\ }{\dot {q}}=f(q,u)}$ ${\displaystyle {\ q}}$ ${\displaystyle \ M}$ ${\displaystyle \ u}$ ${\displaystyle \ U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(\cdot ,u)\mid u\in U\}}$

Sea el álgebra de Lie generada por respecto del corchete de Lie de los campos vectoriales . Dado , si el espacio vectorial es igual a , entonces pertenece a la clausura del interior del conjunto alcanzable a partir de . ${\displaystyle \ \mathrm {Lie} \,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ q\in M}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=\{g(q)\mid g\in \mathrm {Lie} \,{\mathcal {F}}\}}$ ${\displaystyle \ T_{q}M}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ q}$

Observaciones y consecuencias

Incluso si es diferente de , el conjunto alcanzable de tiene interior no vacío en la topología de la órbita, como se desprende del teorema de Krener aplicado al sistema de control restringido a la órbita a través de . ${\displaystyle \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ T_{q}M}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ q}$

Cuando todos los campos vectoriales en son analíticos, si y sólo si pertenece a la clausura del interior del conjunto alcanzable de . Esto es una consecuencia del teorema de Krener y del teorema de la órbita . ${\displaystyle \ {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=T_{q}M}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ q}$

Como corolario del teorema de Krener se puede demostrar que si el sistema es generador de corchetes y si el conjunto alcanzable de es denso en , entonces el conjunto alcanzable de es en realidad igual a . ${\displaystyle \ q\in M}$ ${\displaystyle \ M}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ M}$

Referencias

• Agrachev, Andrei A.; Sachkov, Yuri L. (2004). Teoría del control desde el punto de vista geométrico. Springer-Verlag . pp. xiv+412. ISBN 3-540-21019-9.
• Jurdjevic, Velimir (1997). Teoría del control geométrico. Cambridge University Press . Págs. XVIII+492. ISBN. 0-521-49502-4.^{[ enlace muerto permanente ]}
• Sussmann, Héctor J.; Jurdjevic, Velimir (1972). "Controlabilidad de sistemas no lineales". J. Differential Equations . 12 (1): 95–116. Bibcode :1972JDE....12...95S. doi : 10.1016/0022-0396(72)90007-1 .
• Krener, Arthur J. (1974). "Una generalización del teorema de Chow y el teorema bang-bang a problemas de control no lineal". SIAM J. Control Optim . 12 : 43–52. doi :10.1137/0312005.