En matemáticas , las líneas de un espacio proyectivo tridimensional , S , pueden verse como puntos de un espacio proyectivo pentadimensional, T. En ese espacio pentadimensional, los puntos que representan cada línea en S se encuentran en una cuádrica , Q, conocida como cuádrica de Klein .
Si el espacio vectorial subyacente de S es el espacio vectorial de 4 dimensiones V , entonces T tiene como espacio vectorial subyacente el cuadrado exterior de 6 dimensiones Λ 2 V de V . Las coordenadas de línea obtenidas de esta manera se conocen como coordenadas de Plücker .
Estas coordenadas de Plücker satisfacen la relación cuadrática
definiendo Q , donde
son las coordenadas de la línea abarcada por los dos vectores u y v .
El espacio 3- S puede reconstruirse de nuevo a partir de la cuádrica Q : los planos contenidos en Q se dividen en dos clases de equivalencia , donde los planos de la misma clase se encuentran en un punto, y los planos de clases diferentes se encuentran en una línea o en el conjunto vacío. Sean estas clases C y C ′. La geometría de S se obtiene de la siguiente manera:
El hecho de que las geometrías de S y Q sean isomorfas se puede explicar por el isomorfismo de los diagramas de Dynkin A 3 y D 3 .
