Desigualdad de Khintchine

Teorema de probabilidad

En matemáticas , la desigualdad de Khintchine , llamada así por Aleksandr Khinchin y escrita de múltiples formas en el alfabeto latino, es un teorema de probabilidad y también se usa con frecuencia en análisis . Heurísticamente, dice que si escogemos números complejos y los sumamos, cada uno multiplicado por un signo aleatorio , entonces el valor esperado del módulo de la suma , o el módulo al que estará más cerca en promedio, no estará demasiado lejos de . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{N}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{N}|^{2}}}}$

Declaración

Sean variables aleatorias iid con para , es decir, una secuencia con distribución de Rademacher . Sean y sean . Entonces ${\displaystyle \{\varepsilon _{n}\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle P(\varepsilon _{n}=\pm 1)={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle n=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle A_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}}$

para algunas constantes que dependen solo de (ver Valor esperado para la notación). Los valores precisos de las constantes fueron encontrados por Haagerup (Ref. 2; ver Ref. 3 para una prueba más simple). Es simple ver que cuando , y cuando . ${\displaystyle A_{p},B_{p}>0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A_{p},B_{p}}$ ${\displaystyle A_{p}=1}$ ${\displaystyle p\geq 2}$ ${\displaystyle B_{p}=1}$ ${\displaystyle 0<p\leq 2}$

Haagerup descubrió que

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{p}&={\begin{cases}2^{1/2-1/p}&0<p\leq p_{0},\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&p_{0}<p<2\\1&2\leq p<\infty \end{cases}}\\&{\text{and}}\\B_{p}&={\begin{cases}1&0<p\leq 2\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&2<p<\infty \end{cases}},\end{aligned}}}$

donde y es la función Gamma . Se puede observar en particular que coincide exactamente con los momentos de una distribución normal . ${\displaystyle p_{0}\approx 1.847}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle B_{p}}$

Usos en el análisis

Los usos de esta desigualdad no se limitan a aplicaciones en teoría de probabilidad . Un ejemplo de su uso en análisis es el siguiente: si dejamos que sea un operador lineal entre dos espacios L p y , , con norma acotada , entonces se puede usar la desigualdad de Khintchine para demostrar que ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(Y,\nu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle \|T\|<\infty }$

${\displaystyle \left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|Tf_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(Y,\nu )}\leq C_{p}\left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(X,\mu )}}$

para alguna constante que depende únicamente de y . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle C_{p}>0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|T\|}$

Generalizaciones

Para el caso de las variables aleatorias de Rademacher , Pawel Hitczenko demostró ^[1] que la versión más precisa es:

${\displaystyle A\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)}$

donde , y y son constantes universales independientes de . ${\displaystyle b=\lfloor p\rfloor }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$

Aquí asumimos que no son negativos ni crecientes. ${\displaystyle x_{i}}$

Véase también

• Desigualdad de Marcinkiewicz-Zygmund
• Desigualdad Burkholder-Davis-Gundy

Referencias

1. Pawel Hitczenko, "Sobre la serie de Rademacher". Probabilidad en espacios de Banach, 9 págs. 31-36. ISBN  978-1-4612-0253-0

1. Thomas H. Wolff , "Conferencias sobre análisis armónico". Sociedad Americana de Matemáticas, Serie de conferencias universitarias, vol. 29, 2003. ISBN 0-8218-3449-5 
2. Uffe Haagerup, "Las mejores constantes en la desigualdad de Khintchine", Studia Math. 70 (1981), no. 3, 231–283 (1982).
3. Fedor Nazarov y Anatoliy Podkorytov, "Ball, Haagerup y funciones de distribución", Análisis complejo, operadores y temas relacionados, 247–267, Oper. Theory Adv. Appl., 113, Birkhäuser, Basilea, 2000.