Constante de Kepler-Bouwkamp

En geometría plana , la constante de Kepler-Bouwkamp (o constante de inscripción de polígonos ) se obtiene como límite de la siguiente sucesión . Tómese un círculo de radio 1. Inscríbase en este círculo un triángulo regular . Inscríbase en este triángulo un círculo. Inscríbase en él un cuadrado . Inscríbase un círculo, un pentágono regular , un círculo, un hexágono regular , etcétera. El radio del círculo límite se denomina constante de Kepler-Bouwkamp. ^[1] Recibe su nombre de Johannes Kepler y Christoffel Bouwkamp [de] , y es la inversa de la constante de circunscripción de polígonos .

Valor numérico

La expansión decimal de la constante de Kepler-Bouwkamp es (secuencia A085365 en la OEIS )

\prod_{k=3}^{\infty}\cos \left({\frac {\pi}{k}}\right)=0,1149420448\dots .

El logaritmo natural de la constante de Kepler-Bouwkamp está dado por

-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{2k}-1}{2k}}\zeta (2k)\left(\zeta (2k)-1-{\frac {1}{2^{2k}}}\right)

¿Dónde está la función zeta de Riemann ? $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

Si se toma el producto sobre los primos impares, la constante

\prod_{k=3,5,7,11,13,17,\ldots}\cos \left({\frac {\pi}{k}}\right)=0,312832\ldots

se obtiene (secuencia A131671 en la OEIS ).

^ Finch, SR (2003). Constantes matemáticas . Cambridge University Press. ISBN 9780521818056.Sr. 2003519 .

Kitson, Adrian R. (2006). "El análogo principal de la constante de Kepler-Bouwkamp". arXiv : math/0608186 .
Kitson, Adrian R. (2008). "El análogo principal de la constante de Kepler-Bouwkamp". The Mathematical Gazette . 92 : 293. doi :10.1017/S0025557200183214. S2CID 117950145.
Doslic, Tomislav (2014). "Radio de Kepler-Bouwkamp de secuencias combinatorias". Journal of Integer Sequence . 17 : 14.11.3.