Transformada de Kelvin

La transformada de Kelvin es un mecanismo utilizado en la teoría clásica del potencial para ampliar el concepto de función armónica , permitiendo definir una función que es "armónica en el infinito". Esta técnica también se utiliza en el estudio de funciones subarmónicas y superarmónicas .

Para definir la transformada de Kelvin f ^* de una función f , es necesario considerar primero el concepto de inversión en una esfera en R ⁿ de la siguiente manera.

Es posible utilizar la inversión en cualquier esfera, pero las ideas son más claras cuando se considera una esfera con centro en el origen.

Dada una esfera fija S (0, R ) con centro 0 y radio R , la inversión de un punto x en R ⁿ se define como $${\displaystyle x^{*}={\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}x.}$$

Un efecto útil de esta inversión es que el origen 0 es la imagen de , y es la imagen de 0. Bajo esta inversión, las esferas se transforman en esferas, y el exterior de una esfera se transforma en el interior, y viceversa. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

La transformada de Kelvin de una función se define entonces mediante:

Si D es un subconjunto abierto de R ⁿ que no contiene 0, entonces para cualquier función f definida en D , la transformada de Kelvin f ^* de f con respecto a la esfera S (0, R ) es $${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {|x|^{n-2}}{R^{2n-4}}}f(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}f(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}f\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right).}$$

Una de las propiedades importantes de la transformada de Kelvin, y la principal razón detrás de su creación, es el siguiente resultado:

Sea D un subconjunto abierto en R ⁿ que no contiene el origen 0. Entonces una función u es armónica, subarmónica o superarmónica en D si y solo si la transformada de Kelvin u ^* con respecto a la esfera S (0, R ) es armónica, subarmónica o superarmónica en D ^* .

Esto se desprende de la fórmula $${\displaystyle \Delta u^{*}(x^{*})={\frac {R^{4}}{|x^{*}|^{n+2}}}(\Delta u)\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right).}$$

Véase también

• William Thomson, primer barón Kelvin
• Geometría inversa
• Transformación de onda esférica

Referencias

• William Thomson, Lord Kelvin (1845) "Extrait d'une lettre de M. William Thomson à M. Liouville", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 10: 364–7
• William Thompson (1847) "Extraits deux lettres adressees à M. Liouville, par M. William Thomson", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 556–64
• JL Doob (2001). Teoría clásica del potencial y su contraparte probabilística . Springer-Verlag. pág. 26. ISBN 3-540-41206-9.
• LL Helms (1975). Introducción a la teoría del potencial . RE Krieger. ISBN 0-88275-224-3.
• OD Kellogg (1953). Fundamentos de la teoría del potencial . Dover. ISBN 0-486-60144-7.
• John Wermer (1981) Teoría del potencial 2.ª edición, página 84, Lecture Notes in Mathematics #408 ISBN 3-540-10276-0