En matemáticas , la teoría K de operadores es un análogo no conmutativo de la teoría K topológica para las álgebras de Banach y la mayoría de las aplicaciones se utilizan para las álgebras C* .
La teoría K de operadores se parece más a la teoría K topológica que a la teoría K algebraica . En particular, se cumple un teorema de periodicidad de Bott . Por lo tanto, solo hay dos grupos K, a saber, K 0 , que es igual a K 0 algebraico , y K 1 . Como consecuencia del teorema de periodicidad, satisface la escisión . Esto significa que se asocia a una extensión de C*-álgebras a una secuencia exacta larga , que, por la periodicidad de Bott, se reduce a una secuencia cíclica exacta de 6 términos.
La teoría de operadores K es una generalización de la teoría de operadores K topológica , definida por medio de fibrados vectoriales sobre espacios de Hausdorff localmente compactos . Aquí, un fibrado vectorial sobre un espacio topológico X está asociado a una proyección en el álgebra C* de funciones continuas con valores matriciales (es decir, con valores -) sobre X. También se sabe que el isomorfismo de fibrados vectoriales se traduce en equivalencia de Murray-von Neumann de la proyección asociada en K ⊗ C ( X ), donde K son los operadores compactos sobre un espacio de Hilbert separable.
Por lo tanto, el grupo K 0 de una C*-álgebra A (no necesariamente conmutativa) se define como el grupo de Grothendieck generado por las clases de equivalencia de Murray-von Neumann de proyecciones en K ⊗ C ( X ). K 0 es un funtor de la categoría de C*-álgebras y *-homomorfismos, a la categoría de grupos abelianos y homomorfismos de grupo. Los K-funtores superiores se definen mediante una versión C* de la suspensión: K n ( A ) = K 0 ( S n ( A )), donde SA = C 0 (0,1) ⊗ A .
Sin embargo, por la periodicidad de Bott, resulta que K n +2 ( A ) y K n ( A ) son isomorfos para cada n , y por lo tanto los únicos grupos producidos por esta construcción son K 0 y K 1 .
La razón clave para la introducción de métodos K-teóricos en el estudio de las C*-álgebras fue el índice de Fredholm : Dado un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert que tiene núcleo y conúcleo de dimensión finita, se le puede asociar un entero, que, como se ve, refleja el 'defecto' del operador, es decir, el grado en el que no es invertible. El mapa del índice de Fredholm aparece en la secuencia exacta de 6 términos dada por el álgebra de Calkin . En el análisis de variedades, este índice y sus generalizaciones jugaron un papel crucial en la teoría de índices de Atiyah y Singer, donde el índice topológico de la variedad se puede expresar a través del índice de operadores elípticos en ella. Más tarde, Brown , Douglas y Fillmore observaron que el índice de Fredholm era el ingrediente que faltaba en la clasificación de operadores esencialmente normales hasta cierta equivalencia natural. Estas ideas, junto con la clasificación de Elliott de las álgebras AF C* a través de la teoría K, generaron un gran interés en adaptar métodos como la teoría K de la topología algebraica al estudio de las álgebras de operadores.
Esto, a su vez, condujo a la K-homología , la teoría KK bivariante de Kasparov y, más recientemente, la E-teoría de Connes y Higson .
