Principio de incertidumbre de Küpfmüller

El principio de incertidumbre de Küpfmüller de Karl Küpfmüller en el año 1924 establece que la relación entre el tiempo de subida de una señal de banda limitada y su ancho de banda es una constante. ^[1]

${\displaystyle \Delta f\Delta t\geq k}$

con uno u otro ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Prueba

Una señal de banda limitada con transformada de Fourier se obtiene multiplicando cualquier señal por una función rectangular de ancho en el dominio de la frecuencia: ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle {\hat {u}}(f)}$ ${\displaystyle {\underline {\hat {u}}}(f)}$ ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{\Delta f}}\right)=\chi _{[-\Delta f/2,\Delta f/2]}(f):={\begin{cases}1&|f|\leq \Delta f/2\\0&{\text{else}}\end{cases}}.}$

Esta multiplicación con una función rectangular actúa como un filtro limitador de banda y da como resultado ${\displaystyle {\hat {u}}(f)={\hat {g}}(f){\underline {\hat {u}}}(f)=:{{\underline {\hat {u}}}(f)}{{\Big |}_{\Delta f}}.}$

Aplicando el teorema de convolución , también sabemos

${\displaystyle {\hat {g}}(f)\cdot {\hat {u}}(f)={\mathcal {F}}((g*u)(t))}$

Dado que la transformada de Fourier de una función rectangular es una función sinc y viceversa, se deduce directamente por definición que ${\displaystyle \operatorname {si} }$

${\displaystyle g(t)={\mathcal {F}}^{-1}({\hat {g}})(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-{\frac {\Delta f}{2}}}^{\frac {\Delta f}{2}}1\cdot e^{j2\pi ft}df={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \Delta f\cdot \operatorname {si} \left({\frac {2\pi t\cdot \Delta f}{2}}\right)}$

Ahora, la primera raíz está en . Este es el tiempo de subida del pulso . Dado que el tiempo de subida influye en la velocidad con la que g(t) puede pasar de 0 a su valor máximo, afecta la velocidad con la que la señal limitada por el ancho de banda pasa de 0 a su valor máximo. ${\displaystyle g(\Delta t)=0}$ ${\displaystyle \Delta t=\pm {\frac {1}{\Delta f}}}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle g(t)}$

Tenemos el hallazgo importante de que el tiempo de subida está inversamente relacionado con el ancho de banda de frecuencia:

${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{\Delta f}},}$

Cuanto menor sea el tiempo de subida, mayor deberá ser el ancho de banda de frecuencia.

La igualdad se da siempre que sea finito. ${\displaystyle \Delta t}$

Teniendo en cuenta que una señal real tiene frecuencias tanto positivas como negativas de la misma banda de frecuencia, se convierte en , lo que conduce a en lugar de ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle 2\cdot \Delta f}$ ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle k=1}$

Véase también

• Principio de incertidumbre de Heisenberg
• Teorema de Nyquist

Referencias

1. Rohling, Hermann [en alemán] (2007). "Digitale Übertragung im Basisband" (PDF) . Nachrichtenübertragung I (en alemán). Institut für Nachrichtentechnik, Technische Universität Hamburg-Harburg . Archivado desde el original (PDF) el 12 de julio de 2007 . Consultado el 12 de julio de 2007 .

Lectura adicional

• Küpfmüller, Karl ; Kohn, Gerhard (2000). Theoretische Elektrotechnik und Elektronik (en alemán). Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56500-0.
• Hoffmann, Rüdiger (2005). Grundlagen der Frequenzanalyse - Eine Einführung für Ingenieure und Informatiker (en alemán) (2 ed.). Renningen, Alemania: Expert Verlag. ISBN 3-8169-2447-6.
• Girod, Bernd ; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alejandro (2007). Einführung in die Systemtheorie (en alemán) (4 ed.). Wiesbaden, Alemania: Teubner Verlag . ISBN 978-3-83510176-0.

"