En matemáticas , un conjunto de recubrimiento para una secuencia de números enteros se refiere a un conjunto de números primos tales que cada término en la secuencia es divisible por al menos un miembro del conjunto. [1] El término "conjunto de recubrimiento" se utiliza solo junto con secuencias que poseen crecimiento exponencial .
El uso del término "conjunto cubriente" está relacionado con los números de Sierpinski y Riesel . Se trata de números naturales impares k para los que la fórmula k 2 n + 1 (número de Sierpinski) o k 2 n − 1 (número de Riesel) no produce números primos. [2] Desde 1960 se sabe que existe un número infinito de números de Sierpinski y de Riesel (como soluciones a familias de congruencias basadas en el conjunto {3, 5, 17, 257, 641, 65537, 6700417 } [a] pero, debido a que hay una infinidad de números de la forma k 2 n + 1 o k 2 n − 1 para cualquier k , solo se puede demostrar que k es un número de Sierpinski o de Riesel mostrando que cada término en la secuencia k 2 n + 1 o k 2 n − 1 es divisible por uno de los números primos de un conjunto cubriente.
Estos conjuntos de recubrimiento se forman a partir de números primos que en base 2 tienen períodos cortos. Para lograr un conjunto de recubrimiento completo, Wacław Sierpiński demostró que una secuencia no puede repetirse con una frecuencia mayor que cada 24 números. Una repetición cada 24 números da el conjunto de recubrimiento {3, 5, 7, 13, 17, 241 }, mientras que una repetición cada 36 términos puede dar varios conjuntos de recubrimiento: {3, 5, 7, 13 , 19, 37, 73 }; {3 , 5, 7, 13, 19, 37, 109 }; {3, 5, 7, 13, 19, 73, 109 } y {3, 5, 7, 13, 37, 73, 109 }. [4]
Los números de Riesel tienen los mismos conjuntos de cobertura que los números de Sierpinski.
También existen conjuntos de recubrimiento (por lo tanto, números de Sierpinski y números de Riesel) para bases distintas de 2. [5] [6] [7]
Los conjuntos de cobertura también se utilizan para demostrar la existencia de secuencias de Fibonacci generalizadas compuestas con los dos primeros términos coprimos ( secuencia libre de primos ), como la secuencia que comienza con 20615674205555510 y 3794765361567513.
El concepto de conjunto recubridor puede generalizarse fácilmente a otras secuencias que resultan mucho más simples.
En los siguientes ejemplos, + se utiliza tal como está en las expresiones regulares para significar 1 o más. Por ejemplo, 91 + 3 significa el conjunto {913, 9113, 91113, 911113, … }.
Un ejemplo son las siguientes ocho secuencias:
En cada caso, cada término es divisible por uno de los primos del conjunto {3, 7, 11, 13 }. [8] Se puede decir que estos primos forman un conjunto de recubrimiento exactamente análogo a los números de Sierpinski y Riesel. [9] El conjunto de recubrimiento {3, 7, 11, 37 } se encuentra para varias secuencias similares, [9] incluyendo:
También para bases distintas a la 10:
El conjunto que los cubre es {5, 13, 29 }
Un caso aún más sencillo lo encontramos en la secuencia:
Aquí se puede demostrar que si:
Por lo tanto, tenemos un conjunto de cobertura con solo tres primos {3, 7, 13 }. [10] Esto solo es posible porque la secuencia da términos enteros solo para n impar .
Un conjunto de recubrimiento también aparece en la secuencia:
Aquí se puede demostrar que:
Como (7·10 k − 1) / 3 puede escribirse como 23 + , para la secuencia 381 + , tenemos un conjunto de cobertura de {3, 37, 23 + } – un conjunto de cobertura con infinitos términos. [9]
El estado para (343×10 n − 1)/9 es como el de 3511808×63 n + 1:
Así, tenemos una cobertura de {37, 109, 152×63 + 1, 152×63 2 + 1, 152×63 3 + 1, ...} o {37, 109, 2Q0 + 1 en base 63} – un conjunto de cobertura con infinitos términos.
Un ejemplo más simple es 4×9 n − 1, es igual a (2×3 n − 1) × (2×3 n + 1), por lo que sus conjuntos de cobertura son {5, 17, 53, 161, 485, ... } y {7, 19, 55, 163, 487, ... }, de forma más general, si k y b son ambas potencias r -ésimas para un r impar > 1, entonces k × b n + 1 no puede ser primo, y si k y b son ambas potencias r -ésimas para un r > 1, entonces k × b n − 1 no puede ser primo.
Otro ejemplo es 1369×30 n − 1, su recubrimiento es {7, 13, 19, 37×30 k − 1 ( k = 1, 2, 3, ...)}