La fórmula de Jensen

Fórmula matemática en análisis complejo

En el análisis complejo , la fórmula de Jensen relaciona la magnitud media de una función analítica en un círculo con el número de ceros dentro del círculo. La fórmula fue introducida por Johan Jensen  (1899) y constituye un enunciado importante en el estudio de funciones completas .

Declaración formal

Supóngase que es una función analítica en una región en el plano complejo que contiene el disco cerrado de radio alrededor del origen, los ceros de están en el interior de (repetidos según su respectiva multiplicidad), y que . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$

La fórmula de Jensen establece que ^[1]

${\displaystyle \log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}$

Esta fórmula establece una conexión entre los módulos de los ceros de en el interior de y el promedio de en el círculo límite , y puede verse como una generalización de la propiedad del valor medio de las funciones armónicas . Es decir, si no tiene ceros en , entonces la fórmula de Jensen se reduce a ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$ ${\displaystyle \log |f(z)|}$ ${\displaystyle |z|=r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$

${\displaystyle \log |f(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta ,}$

que es la propiedad del valor medio de la función armónica . ${\displaystyle \log |f(z)|}$

Una afirmación equivalente de la fórmula de Jensen que se utiliza con frecuencia es

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta -\log |f(0)|=\int _{0}^{r}{\frac {n(t)}{t}}\,dt}$

donde denota el número de ceros de en el disco de radio centrado en el origen. ${\displaystyle n(t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$

Prueba ^[1]

Basta con probar el caso a favor de . ${\displaystyle r=1}$

1. Si contiene ceros en el límite del círculo, entonces podemos definir , donde son los ceros en el límite del círculo. Ya que nos hemos reducido a demostrar el teorema para , es decir, el caso sin ceros en el límite del círculo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{\prod _{k}(z-e^{i\theta _{k}})}}}$ ${\displaystyle e^{i\theta _{k}}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\ln |e^{i\theta }-e^{i\theta _{k}}|d\theta =2\int _{0}^{\pi }\ln(2\sin \theta )d\theta =0,}$$ ${\displaystyle g}$
2. Definimos y completamos todas las singularidades removibles. Obtenemos una función que es analítica en , y no tiene raíces en . $${\displaystyle F(z):={\frac {f(z)}{\prod _{k=1}^{n}(z-a_{k})}}}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B(0,1+\epsilon )}$ ${\displaystyle B(0,1)}$
3. Como es una función armónica, podemos aplicarle la fórmula integral de Poisson y obtener donde se puede escribir como ${\displaystyle \log |F|=Re(\log F)}$ $${\displaystyle \log |F(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |F(e^{i\theta })|\,d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta -\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta .}$$ ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta }$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }\log |1-a_{k}e^{-i\theta }|\,d\theta =Re\int _{0}^{2\pi }\log(1-a_{k}e^{-i\theta })\,d\theta .}$$
4. Ahora bien, es un múltiplo de una integral de contorno de una función a lo largo de un círculo de radio . Como no tiene polos en , la integral de contorno es cero. ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log(1-a_{k}e^{-i\theta })\,d\theta }$ ${\displaystyle \log(1-z)/z}$ ${\displaystyle |a_{k}|<1}$ ${\displaystyle \log(1-z)/z}$ ${\displaystyle B(0,|a_{k}|)}$

Aplicaciones

La fórmula de Jensen se puede utilizar para estimar el número de ceros de una función analítica en un círculo. Es decir, si es una función analítica en un disco de radio centrado en y si está limitada por en el límite de ese disco, entonces el número de ceros de en un círculo de radio centrado en el mismo punto no excede ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r<R}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\log(R/r)}}\log {\frac {M}{|f(z_{0})|}}.}$

La fórmula de Jensen es un enunciado importante en el estudio de la distribución de valores de funciones enteras y meromórficas. En particular, es el punto de partida de la teoría de Nevanlinna y aparece a menudo en las demostraciones del teorema de factorización de Hadamard , que requiere una estimación del número de ceros de una función entera.

La fórmula de Jensen también se utiliza para demostrar una generalización del teorema de Paley-Wiener para funciones cuasi-analíticas con . ^[2] En el campo de la teoría de control (en particular: métodos de factorización espectral ) esta generalización a menudo se conoce como la condición de Paley-Wiener . ^[3] ${\displaystyle r\rightarrow 1}$

Generalizaciones

La fórmula de Jensen puede generalizarse para funciones que son meramente meromórficas en . Es decir, supongamos que ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$

${\displaystyle f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}},}$

donde y son funciones analíticas en que tienen ceros en y respectivamente, entonces la fórmula de Jensen para funciones meromórficas establece que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {D} _{r}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}\in \mathbb {D} _{r}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle \log \left|{\frac {g(0)}{h(0)}}\right|=\log \left|r^{m-n-l}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{b_{1}\ldots b_{m}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}$

La fórmula de Jensen es una consecuencia de la fórmula más general de Poisson-Jensen , que a su vez se deduce de la fórmula de Jensen al aplicar una transformación de Möbius a . Fue introducida y nombrada por Rolf Nevanlinna . Si es una función que es analítica en el disco unitario, con ceros ubicados en el interior del disco unitario, entonces para cada en el disco unitario la fórmula de Poisson-Jensen establece que ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}}$

${\displaystyle \log |f(z_{0})|=\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {z_{0}-a_{k}}{1-{\bar {a}}_{k}z_{0}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta .}$

Aquí,

${\displaystyle P_{r}(\omega )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }r^{|n|}e^{in\omega }}$

es el núcleo de Poisson en el disco de la unidad. Si la función no tiene ceros en el disco de la unidad, la fórmula de Poisson-Jensen se reduce a ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \log |f(z_{0})|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta ,}$

cual es la fórmula de Poisson para la función armónica . ${\displaystyle \log |f(z)|}$

Véase también

• Teorema de Paley-Wiener

Referencias

1. Ahlfors, Lars V. (1979). "5.3.1, Fórmula de Jensen". Análisis complejo: una introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1.OCLC 4036464  .
2. Paley y Wiener 1934, págs. 14-20.
3. Sayed y Kailath 2001, págs. 469–470.

Fuentes

• Ahlfors, Lars V. (1979), Análisis complejo. Introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja , International Series in Pure and applied Mathematics (3.ª ed.), Düsseldorf: McGraw–Hill, ISBN 0-07-000657-1, Zbl  0395.30001
• Jensen, J. (1899), "Sur un nouvel et importante théorème de la théorie des fonctions", Acta Mathematica (en francés), 22 (1): 359–364, doi : 10.1007/BF02417878 , ISSN  0001-5962, JFM  30.0364.02, señor  1554908
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934). Transformadas de Fourier en el dominio complejo . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1019-4.
• Ransford, Thomas (1995), Teoría del potencial en el plano complejo , London Mathematical Society Student Texts, vol. 28, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-46654-7, Zbl0828.31001 ​
• Sayed, AH; Kailath, T. (2001). "Un estudio de los métodos de factorización espectral". Álgebra lineal numérica con aplicaciones . 8 (6–7): 467–496. doi :10.1002/nla.250. ISSN  1070-5325.