Prueba de Jarque-Bera

Prueba de normalidad

En estadística , la prueba de Jarque-Bera es una prueba de bondad de ajuste que permite determinar si los datos de la muestra tienen la asimetría y la curtosis que coinciden con una distribución normal . La prueba recibe su nombre de Carlos Jarque y Anil K. Bera . La estadística de prueba siempre es no negativa. Si está lejos de cero, indica que los datos no tienen una distribución normal.

La estadística de prueba JB se define como

${\displaystyle {\mathit {JB}}={\frac {n}{6}}\left(S^{2}+{\frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right)}$

donde n es el número de observaciones (o grados de libertad en general); S es la asimetría de la muestra , K es la curtosis de la muestra  :

${\displaystyle S={\frac {{\hat {\mu }}_{3}}{{\hat {\sigma }}^{3}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}},}$

${\displaystyle K={\frac {{\hat {\mu }}_{4}}{{\hat {\sigma }}^{4}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}},}$

donde y son las estimaciones del tercer y cuarto momento central , respectivamente, es la media de la muestra , y es la estimación del segundo momento central, la varianza . ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$

Si los datos provienen de una distribución normal, el estadístico JB tiene asintóticamente una distribución de chi-cuadrado con dos grados de libertad , por lo que el estadístico se puede utilizar para probar la hipótesis de que los datos provienen de una distribución normal . La hipótesis nula es una hipótesis conjunta de que la asimetría es cero y el exceso de curtosis es cero. Las muestras de una distribución normal tienen una asimetría esperada de 0 y un exceso de curtosis esperado de 0 (que es lo mismo que una curtosis de 3). Como muestra la definición de JB , cualquier desviación de esto aumenta el estadístico JB.

Para muestras pequeñas, la aproximación de chi-cuadrado es demasiado sensible y, a menudo, rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera. Además, la distribución de los valores p se aparta de una distribución uniforme y se convierte en una distribución unimodal sesgada hacia la derecha , especialmente para valores p pequeños . Esto conduce a una gran tasa de error de tipo I. La siguiente tabla muestra algunos valores p aproximados por una distribución de chi-cuadrado que difieren de sus verdaderos niveles alfa para muestras pequeñas.

(Estos valores se han aproximado mediante simulación de Monte Carlo en Matlab )

En la implementación de MATLAB , la aproximación de chi-cuadrado para la distribución de la estadística JB se utiliza únicamente para tamaños de muestra grandes (> 2000). Para muestras más pequeñas, se utiliza una tabla derivada de simulaciones de Monte Carlo para interpolar los valores p . ^[1]

Historia

La estadística fue derivada por Carlos M. Jarque y Anil K. Bera mientras trabajaban en su tesis de doctorado en la Universidad Nacional de Australia.

Prueba de Jarque-Bera en el análisis de regresión

Según Robert Hall, David Lilien, et al. (1995) al utilizar esta prueba junto con el análisis de regresión múltiple la estimación correcta es:

${\displaystyle {\mathit {JB}}={\frac {n-k}{6}}\left(S^{2}+{\frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right)}$

donde n es el número de observaciones y k es el número de regresores cuando se examinan los residuos de una ecuación.

Implementaciones

• ALGLIB incluye una implementación de la prueba Jarque–Bera en C++, C#, Delphi, Visual Basic, etc.
• Gretl incluye una implementación de la prueba Jarque-Bera
• Julia incluye una implementación de la prueba Jarque-Bera JarqueBeraTest en el paquete HypothesisTests . ^[2]
• MATLAB incluye una implementación de la prueba Jarque–Bera, la función "jbtest".
• Python statsmodels incluye una implementación de la prueba Jarque–Bera, "statsmodels.stats.stattools.py".
• R incluye implementaciones de la prueba Jarque–Bera: jarque.bera.test en el paquete tseries , ^[3] por ejemplo, y jarque.test en el paquete moments . ^[4]
• Wolfram incluye una función incorporada llamada JarqueBeraALMTest ^[5] y no se limita a realizar pruebas contra una distribución gaussiana.

Véase también

• Prueba K-cuadrado de D'Agostino , otra prueba basada en curtosis y asimetría.

Referencias

1. "Análisis del JB-Test en MATLAB". MathWorks . Consultado el 24 de mayo de 2009 .
2. "Pruebas de series temporales". juliastats.org . Consultado el 4 de febrero de 2020 .
3. "tseries: Análisis de series temporales y finanzas computacionales". Proyecto R .
4. "momentos: momentos, cumulantes, asimetría, curtosis y pruebas relacionadas". Proyecto R .
5. "JarqueBeraALMTest—Documentación del lenguaje Wolfram". reference.wolfram.com . Consultado el 26 de octubre de 2017 .

Lectura adicional

• Jarque, Carlos M. ; Bera, Anil K. (1980). "Pruebas eficientes de normalidad, homocedasticidad e independencia serial de residuos de regresión". Economics Letters . 6 (3): 255–259. doi :10.1016/0165-1765(80)90024-5.
• Jarque, Carlos M. ; Bera, Anil K. (1981). "Pruebas eficientes de normalidad, homocedasticidad e independencia serial de residuos de regresión: evidencia de Monte Carlo". Economics Letters . 7 (4): 313–318. doi :10.1016/0165-1765(81)90035-5.
• Jarque, Carlos M. ; Bera, Anil K. (1987). "Una prueba de normalidad de observaciones y residuos de regresión". International Statistical Review . 55 (2): 163–172. doi :10.2307/1403192. JSTOR  1403192.
• Judge; et al. (1988). Introducción a la teoría y práctica de la econometría (3.ª ed.). Págs. 890–892.
• Hall, Robert E.; Lilien, David M.; et al. (1995). Guía del usuario de EViews . pág. 141.