transformación de jacobi

En matemáticas, la transformada de Jacobi es una transformada integral que lleva el nombre del matemático Carl Gustav Jacob Jacobi , que utiliza polinomios de Jacobi como núcleos de la transformada. ^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$

La transformada de Jacobi de una función es ^[5] ${\displaystyle F(x)}$

${\displaystyle J\{F(x)\}=f^{\alpha ,\beta }(n)=\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)\ F(x)\ dx}$

La transformada inversa de Jacobi viene dada por

${\displaystyle J^{-1}\{f^{\alpha ,\beta }(n)\}=F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\delta _{n}}}f^{\alpha ,\beta }(n)P_{n}^{\alpha ,\beta }(x),\quad {\text{where}}\quad \delta _{n}={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{n!(\alpha +\beta +2n+1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)}}}$

Algunos Jacobi transforman pares.

Referencias

1. Debnath, L. "Sobre la transformación de Jacobi". Toro. California. Matemáticas. Sociedad 55.3 (1963): 113-120.
2. Debnath, L. "SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES MEDIANTE TRANSFORMADA DE JACOBI". BOLETÍN DE LA SOCIEDAD MATEMÁTICA DE CALCUTA 59.3-4 (1967): 155.
3. Scott, EJ "Jacobi se transforma". (1953).
4. Shen, Jie; Wang, Yingwei; Xia, Jianlin (2019). "Transformaciones rápidas y estructuradas de Jacobi-Jacobi". Matemáticas. comp . 88 (318): 1743-1772. doi : 10.1090/mcom/3377 .
5. Debnath, Lokenath y Dambaru Bhatta. Transformadas integrales y sus aplicaciones. Prensa CRC, 2014.