Cardenal Jónsson

En teoría de conjuntos , un cardinal de Jónsson (llamado así por Bjarni Jónsson ) es un cierto tipo de número cardinal grande .

Se dice que un número cardinal incontable κ es de Jónsson si para cada función hay un conjunto de tipo de orden tal que para cada , restringido a subconjuntos de elementos de omite al menos un valor en . ${\displaystyle f:[\kappa ]^{<\omega }\to \kappa }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \kappa }$

Todo cardinal Rowbottom es Jónsson. Por un teorema de Eugene M. Kleinberg, las teorías ZFC + “hay un cardinal Rowbottom ” y ZFC + “hay un cardinal Jónsson” son equiconsistentes. William Mitchell demostró, con la ayuda del modelo de núcleo Dodd-Jensen , que la consistencia de la existencia de un cardinal Jónsson implica la consistencia de la existencia de un cardinal Ramsey , de modo que la existencia de cardinales Jónsson y la existencia de cardinales Ramsey son equiconsistentes. ^[1]

En general, los cardinales de Jónsson no necesitan ser cardinales grandes en el sentido usual: pueden ser singulares . Pero la existencia de un cardinal de Jónsson singular es equiconsistente con la existencia de un cardinal medible . Usando el axioma de elección , se puede demostrar que muchos cardinales pequeños (el , por ejemplo) no son Jónsson. Sin embargo, resultados como este necesitan el axioma de elección: El axioma de determinación implica que para cada número natural positivo n , el cardinal es Jónsson. ${\displaystyle \aleph _{n}}$ ${\displaystyle \aleph _{n}}$

Un álgebra de Jónsson es un álgebra sin subálgebras propias de la misma cardinalidad (no están relacionadas con las álgebras de Jónsson-Tarski ). Aquí, un álgebra significa un modelo para un lenguaje con un número contable de símbolos de función, en otras palabras, un conjunto con un número contable de funciones a partir de productos finitos del conjunto consigo mismo. Un cardinal es un cardinal de Jónsson si y solo si no hay álgebras de Jónsson de esa cardinalidad. La existencia de funciones de Jónsson muestra que si se permite que las álgebras tengan operaciones infinitarias, entonces no hay análogos de los cardinales de Jónsson.

Referencias

1. Mitchell, William J.: "Cardenales Jonsson, Cardenales Erdos y el modelo central", Journal of Symbolic Logic 64(3):1065-1086, 1999.

• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.
• Jónsson, Bjarni (1972), Temas de álgebra universal , Lecture Notes in Mathematics, vol. 250, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0058648, ISBN 978-3-540-05722-2, Sr.  0345895