Cardenal de Rowbottom

En la teoría de conjuntos , un cardinal de Rowbottom , introducido por Rowbottom  (1971), es un cierto tipo de número cardinal grande .

Se dice que un número cardinal incontable es -Rowbottom si para cada función f : [κ] ^{< ω} → λ (donde λ < κ) existe un conjunto H de tipo de orden que es cuasi- homogéneo para f , es decir, para cada n , la f -imagen del conjunto de subconjuntos de n -elementos de H tiene < elementos. es Rowbottom si es - Rowbottom . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Todo cardinal de Ramsey es Rowbottom, y todo cardinal de Rowbottom es Jónsson . Por un teorema de Kleinberg, las teorías ZFC + “hay un cardinal de Rowbottom” y ZFC + “hay un cardinal de Jónsson” son equiconsistentes.

En general, los cardinales Rowbottom no necesitan ser cardinales grandes en el sentido usual: los cardinales Rowbottom podrían ser singulares . Es una pregunta abierta si ZFC + “ es Rowbottom” es consistente. Si lo es, tiene una fuerza de consistencia mucho mayor que la existencia de un cardinal Rowbottom. El axioma de determinación implica que es Rowbottom (pero contradice el axioma de elección ). ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Referencias

• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.
• Rowbottom, Frederick (1971) [1964], "Algunos axiomas fuertes de infinito incompatibles con el axioma de constructibilidad", Annals of Pure and Applied Logic , 3 (1): 1–44, doi : 10.1016/0003-4843(71)90009-X , ISSN  0168-0072, MR  0323572