En geometría proyectiva , el invariante de Laguerre-Forsyth es una diferencial cúbica que es un invariante de una curva plana proyectiva. Recibe su nombre en honor a Edmond Laguerre y Andrew Forsyth , este último analizó el invariante en un influyente libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias .
Supóngase que es una inmersión tres veces continuamente diferenciable de la línea proyectiva en el plano proyectivo , con coordenadas homogéneas dadas por entonces asociada a p está la ecuación diferencial ordinaria de tercer orden
Genéricamente, esta ecuación se puede expresar en la forma
donde son funciones racionales de los componentes de p y sus derivadas. Después de un cambio de variables de la forma , esta ecuación puede reducirse aún más a una ecuación sin términos de primera o segunda derivada
El invariante es el invariante de Laguerre-Forsyth.
Una propiedad clave de P es que la diferencial cúbica P ( dt ) 3 es invariante bajo el grupo de automorfismos de la línea proyectiva. Más precisamente, es invariante bajo , , y .
El invariante P se anula de forma idéntica si (y solo si) la curva es una sección cónica . Los puntos en los que P se anula se denominan puntos sextácticos de la curva. Un teorema de Herglotz y Radon sostiene que toda curva cerrada estrictamente convexa tiene al menos seis puntos sextácticos. Thorbergsson y Umehara (2002) han extendido este resultado a una variedad de mínimos óptimos para curvas cerradas simples (pero no necesariamente convexas), dependiendo de la clase de homotopía de la curva en el plano proyectivo.
