Invariante de Ermakov-Lewis

Muchos hamiltonianos de la mecánica cuántica dependen del tiempo. Los métodos para resolver problemas en los que existe una dependencia explícita del tiempo son un tema abierto hoy en día. Es importante buscar constantes de movimiento o invariantes para problemas de este tipo. Para el oscilador armónico (dependiente del tiempo) es posible escribir varios invariantes, entre ellos, el invariante de Ermakov-Lewis que se desarrolla a continuación.

El oscilador armónico hamiltoniano dependiente del tiempo lee

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[{\hat {p}}^{2}+\Omega ^{2}(t){\hat {q}}^{2}\right].}$

Es bien sabido que una invariante para este tipo de interacción tiene la forma

${\displaystyle {\hat {I}}={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\hat {q}}{\rho }}\right)^{2}+(\rho {\hat {p}}-{\dot {\rho }}{\hat {q}})^{2}\right],}$

donde obedece la ecuación de Ermakov ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\ddot {\rho }}+\Omega ^{2}\rho =\rho ^{-3}.}$

La invariante anterior es la llamada invariante de Ermakov-Lewis. ^[1] Es fácil demostrar que puede estar relacionado con el oscilador armónico independiente del tiempo hamiltoniano mediante una transformación unitaria de la forma ^[2] ${\displaystyle {\hat {I}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}=e^{i{\frac {\ln \rho }{2}}({\hat {q}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {q}})}e^{-i{\frac {\dot {\rho }}{2\rho }}{\hat {q}}^{2}}=e^{i{\frac {\ln \rho }{2}}{\frac {d{\hat {q}}^{2}}{dt}}}e^{-i{\frac {{\hat {q}}^{2}}{2}}{\frac {d\ln \rho }{dt}}},}$

como

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\hat {p}}^{2}+{\hat {q}}^{2}\right]={\hat {T}}{\hat {I}}{\hat {T}}^{\dagger }.}$

Esto permite expresar fácilmente la solución de la ecuación de Schrödinger para el hamiltoniano dependiente del tiempo .

El primer exponencial de la transformación es el llamado operador de compresión .

Este enfoque puede permitir simplificar problemas como la trampa de iones cuadrupolo , donde un ion queda atrapado en un potencial armónico con una frecuencia dependiente del tiempo. La transformación que aquí se presenta resulta entonces útil para tener en cuenta dichos efectos.

El significado geométrico de esta invariante se puede realizar dentro del espacio de fase cuántica. ^[3]

Historia

Fue propuesto en 1880 por Vasilij Petrovich Ermakov (1845-1922). ^[4] El artículo está traducido. ^[5]

En 1966, Ralph Lewis redescubrió la invariante utilizando el método asintótico de Kruskal. ^[6] Publicó la solución en 1967. ^[1]

Referencias

1. Lewis, recursos humanos (27 de marzo de 1967). "Sistemas clásicos y cuánticos con hamiltonianos de tipo oscilador armónico dependiente del tiempo". Cartas de revisión física . 18 (13). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 510–512. doi :10.1103/physrevlett.18.510. ISSN  0031-9007.
2. Moya-Cessa, H .; Guasti, M. Fernández (2003). "Estados coherentes para el oscilador armónico dependiente del tiempo: la función escalonada". Letras de Física A. 311 (1): 1–5. arXiv : quant-ph/0301111 . Código bibliográfico : 2003PhLA..311....1M. doi :10.1016/S0375-9601(03)00461-4. S2CID  54634409.
3. Sí, L. (1993). "Invariante de Ermakov-Lewis de la función Wigner de un estado coherente comprimido". Física. Rev. A. 47 (5): 3587–3592. doi :10.1103/PhysRevA.47.3587.
4. Ermakov, V. "Ecuaciones diferenciales de segundo orden". Condiciones de integrabilidad total, Universitetskie Izvestiya, Kiev 9 (1880): 1-25.
5. Ermakov, Vasilij Petrovich (2008). "Ecuaciones diferenciales de segundo orden: condiciones de integrabilidad completa". Análisis Aplicable y Matemática Discreta . 2 (2): 123–145. ISSN  1452-8630.
6. Lixiviación, PGL; Andriopoulos, K. (2008). "La ecuación de Ermakov: un comentario". Análisis Aplicable y Matemática Discreta . 2 (2): 146-157. ISSN  1452-8630.