Integral de Daniell

En matemáticas , la integral de Daniell es un tipo de integración que generaliza el concepto de versiones más elementales, como la integral de Riemann , a la que los estudiantes suelen conocer por primera vez. Una de las principales dificultades con la formulación tradicional de la integral de Lebesgue es que requiere el desarrollo inicial de una teoría de la medida viable antes de que se puedan obtener resultados útiles para la integral. Sin embargo, existe un enfoque alternativo disponible, desarrollado por Percy J. Daniell  (1918) que no sufre de esta deficiencia y tiene algunas ventajas significativas sobre la formulación tradicional, especialmente porque la integral se generaliza a espacios de dimensiones superiores y a otras generalizaciones como la integral de Stieltjes . La idea básica implica la axiomatización de la integral.

Axiomas

Comenzamos eligiendo una familia de funciones reales acotadas (llamadas funciones elementales ) definidas sobre un conjunto determinado , que satisface estos dos axiomas: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle H}$es un espacio lineal con las operaciones habituales de suma y multiplicación escalar.
• Si una función está en , también lo está su valor absoluto . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |h|:x\mapsto |h(x)|}$

Además, a cada función h en H se le asigna un número real , que se llama integral elemental de h , que satisface estos tres axiomas: ${\displaystyle Ih}$

Linealidad

Si h y k están ambos en H , y y son dos números reales cualesquiera, entonces . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik}$

No negatividad

Si para todos , entonces . ${\displaystyle h(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ih\geq 0}$

Continuidad

Si es una secuencia no creciente (es decir ) de funciones en que converge a 0 para todos en , entonces . ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Ih_{n}\to 0}$

o (más comúnmente)

Si es una secuencia creciente (es decir ) de funciones en que converge a h para todo en , entonces . ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle h_{1}\leq \cdots \leq h_{k}\leq \cdots }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Ih_{n}\to Ih}$

Es decir, definimos una funcional lineal continua no negativa en el espacio de funciones elementales. ${\displaystyle I}$

Estas funciones elementales y sus integrales elementales pueden ser cualquier conjunto de funciones y definiciones de integrales sobre estas funciones que satisfacen estos axiomas. La familia de todas las funciones escalonadas evidentemente satisface los axiomas anteriores para funciones elementales. Definir la integral elemental de la familia de funciones escalonadas como el área (con signo) debajo de una función escalonada evidentemente satisface los axiomas dados para una integral elemental. Aplicar la construcción de la integral de Daniell descrita más adelante utilizando funciones escalonadas como funciones elementales produce una definición de una integral equivalente a la integral de Lebesgue. También es posible utilizar la familia de todas las funciones continuas como funciones elementales y la integral tradicional de Riemann como integral elemental; sin embargo, esto producirá una integral que también es equivalente a la definición de Lebesgue. Hacer lo mismo, pero utilizando la integral de Riemann–Stieltjes , junto con una función apropiada de variación acotada , da una definición de integral equivalente a la integral de Lebesgue–Stieltjes .

Los conjuntos de medida cero pueden definirse en términos de funciones elementales de la siguiente manera. Un conjunto que es un subconjunto de es un conjunto de medida cero si para cualquier , existe una secuencia no decreciente de funciones elementales no negativas en H tales que y en . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle h_{p}(x)}$ ${\displaystyle Ih_{p}<\varepsilon }$ ${\textstyle \sup _{p}h_{p}(x)\geq 1}$ ${\displaystyle Z}$

Un conjunto se denomina conjunto de medida completa si su complemento, relativo a , es un conjunto de medida cero. Decimos que si alguna propiedad se cumple en cada punto de un conjunto de medida completa (o equivalentemente en todas partes excepto en un conjunto de medida cero), se cumple casi en todas partes . ${\displaystyle X}$

Definición

Aunque el resultado es el mismo, los distintos autores construyen la integral de forma diferente. Un enfoque común es comenzar definiendo una clase más grande de funciones, basada en las funciones elementales elegidas, la clase , que es la familia de todas las funciones que son el límite de una secuencia no decreciente de funciones elementales, de modo que el conjunto de integrales esté acotado. La integral de una función en se define como: ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle Ih_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{+}}$

${\displaystyle If=\lim _{n\to \infty }Ih_{n}}$

Se puede demostrar que esta definición de la integral está bien definida, es decir, no depende de la elección de la secuencia . ${\displaystyle h_{n}}$

Sin embargo, la clase en general no está cerrada bajo la resta y la multiplicación escalar por números negativos; es necesario ampliarla aún más definiendo una clase más amplia de funciones con estas propiedades. ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle L}$

El método de Daniell (1918), descrito en el libro de Royden, equivale a definir la integral superior de una función general mediante ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle I^{+}\phi =\inf _{f\geq \phi }If.}$

La integral inferior se define de manera similar o, en resumen, como . Finalmente, consta de aquellas funciones cuyas integrales superior e inferior son finitas y coincidentes, y ${\displaystyle I^{-}\phi =-I^{+}(-\phi )}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \int _{X}\phi (x)dx=I^{+}\phi =I^{-}\phi .}$

Una vía alternativa, basada en un descubrimiento de Frederic Riesz, se encuentra en el libro de Shilov y Gurevich y en el artículo de la Enciclopedia de Matemáticas. Aquí se encuentran aquellas funciones que se pueden representar en un conjunto de medida completa (definido en el apartado anterior) como la diferencia , para algunas funciones y en la clase . Entonces la integral de una función se puede definir como: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi =f-g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \int _{X}\phi (x)dx=If-Ig\,}$

Nuevamente, se puede demostrar que esta integral está bien definida, es decir, no depende de la descomposición de en y . Esto resulta ser equivalente a la integral de Daniell original. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Propiedades

Casi todos los teoremas importantes de la teoría tradicional de la integral de Lebesgue, como el teorema de convergencia dominada de Lebesgue , el teorema de Riesz-Fischer , el lema de Fatou y el teorema de Fubini , también pueden demostrarse fácilmente utilizando esta construcción. Sus propiedades son idénticas a las de la integral de Lebesgue tradicional.

Medición

Debido a la correspondencia natural entre conjuntos y funciones, también es posible utilizar la integral de Daniell para construir una teoría de la medida . Si tomamos la función característica de algún conjunto, entonces su integral puede tomarse como la medida del conjunto. Se puede demostrar que esta definición de medida basada en la integral de Daniell es equivalente a la medida de Lebesgue tradicional . ${\displaystyle \chi (x)}$

Ventajas sobre la formulación tradicional

Este método de construcción de la integral general tiene algunas ventajas sobre el método tradicional de Lebesgue, particularmente en el campo del análisis funcional . Las construcciones de Lebesgue y Daniell son equivalentes, como se señaló anteriormente, si se eligen funciones escalonadas ordinarias de valores finitos como funciones elementales. Sin embargo, cuando uno intenta extender la definición de la integral a dominios más complejos (por ejemplo, al intentar definir la integral de una función lineal ), uno se topa con dificultades prácticas al usar la construcción de Lebesgue que se alivian con el enfoque de Daniell.

El matemático polaco Jan Mikusinski ha elaborado una formulación alternativa y más natural de la integración de Daniell utilizando la noción de serie absolutamente convergente . Su formulación funciona para la integral de Bochner (la integral de Lebesgue para aplicaciones que toman valores en espacios de Banach ) ^{[ cita requerida ]} . El lema de Mikusinski permite definir la integral sin mencionar los conjuntos nulos . También demostró el teorema de cambio de variables para integrales de Bochner múltiples y el teorema de Fubini para integrales de Bochner utilizando la integración de Daniell. El libro de Asplund y Bungart contiene un tratamiento lúcido de este enfoque para funciones de valores reales. También ofrece una prueba del teorema abstracto de Radon-Nikodym utilizando el enfoque de Daniell-Mikusinski.

Véase también

• Integral de Lebesgue
• Integral de Riemann
• Integración Lebesgue-Stieltjes

Referencias

• Ash, Robert B. (1972). "La interacción entre la teoría de la medida y la topología". Análisis real y probabilidad . Nueva York: Academic Press. págs. 168-200. ISBN 0-12-065201-3.
• Daniell, PJ (1918). "Una forma general de integral". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 19 (4): 279–294. doi :10.2307/1967495. JSTOR  1967495.
• Haberman, Shelby J. (1996). "Construcción de integrales de Daniell". Advanced Statistics . Nueva York: Springer. pp. 199–263. ISBN 0-387-94717-5.
• Royden, HL (1988). "La integral de Daniell". Análisis real (3.ª ed.). Englewood Cliffs: Prentice Hall. pp. 419–434. ISBN 0-02-404151-3.
• Loomis, Lynn H. (1953), "Capítulo III: Integración", Introducción al análisis armónico abstracto , D. Van Nostrand, págs. 29-47, hdl : 2027/uc1.b4250788
• Shilov, GE; Gurevich, BL (1978). Integral, medida y derivada: un enfoque unificado . Traducido por Silverman, Richard A. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• Asplund, Edgar; Bungart, Lutz (1966). Un primer curso de integración . Nueva York: Holt, Rinehart y Winston.
• Sobolev, VI (2001) [1994], "Integral de Daniell", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Taylor, AE (1985) [1965]. Teoría general de funciones e integración . Dover. ISBN 0-486-64988-1.