Integral cuadrática

En matemáticas , una integral cuadrática es una integral de la forma $${\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}.}$$

Se puede evaluar completando el cuadrado en el denominador .

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\frac {b}{2c}}\right)^{\!2}+\left({\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}\right)}}.}$$

Caso discriminante positivo

Supongamos que el discriminante q = b ²  − 4 ac es positivo. En ese caso, definamos u y A mediante y $${\displaystyle u=x+{\frac {b}{2c}},}$$ $${\displaystyle -A^{2}={\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}={\frac {1}{4c^{2}}}(4ac-b^{2}).}$$

La integral cuadrática ahora se puede escribir como $${\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}-A^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{(u+A)(u-A)}}.}$$

La descomposición en fracciones parciales nos permite evaluar la integral: $${\displaystyle {\frac {1}{(u+A)(u-A)}}={\frac {1}{2A}}\!\left({\frac {1}{u-A}}-{\frac {1}{u+A}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{(u+A)(u-A)}}={\frac {1}{2Ac}}\ln \left({\frac {u-A}{u+A}}\right)+{\text{constant}}.}$$

El resultado final de la integral original, bajo el supuesto de que q > 0, es $${\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {q}}}\ln \left({\frac {2cx+b-{\sqrt {q}}}{2cx+b+{\sqrt {q}}}}\right)+{\text{constant}}.}$$

Caso discriminante negativo

En caso de que el discriminante q = b ²  − 4 ac sea negativo, el segundo término en el denominador es positivo. Entonces la integral se convierte en $${\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\frac {b}{2c}}\right)^{\!2}+\left({\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}\right)}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}+A^{2}}}&={\frac {1}{cA}}\int {\frac {du/A}{(u/A)^{2}+1}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\int {\frac {dw}{w^{2}+1}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\arctan(w)+\mathrm {constant} \\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\arctan \left({\frac {u}{A}}\right)+{\text{constant}}\\[9pt]&={\frac {1}{c{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}}\arctan \left({\frac {x+{\frac {b}{2c}}}{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}\right)+{\text{constant}}\\[9pt]&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}\,}}}\arctan \left({\frac {2cx+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\right)+{\text{constant}}.\end{aligned}}}$$

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Integral cuadrática". De MathWorld , un recurso web de Wolfram, en el que se hace referencia a lo siguiente:
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. Número de serie LCCN  2014010276.