En física teórica, el instantón BPST es el instantón con devanado número 1 encontrado por Alexander Belavin , Alexander Polyakov , Albert Schwarz y Yu. S. Tyupkin. [1] Es una solución clásica a las ecuaciones de movimiento de la teoría SU(2) de Yang-Mills en el espacio-tiempo euclidiano (es decir, después de la rotación de Wick ), lo que significa que describe una transición entre dos vacíos topológicos diferentes de la teoría. Originalmente se esperaba que esto abriera el camino para resolver el problema del confinamiento , sobre todo porque Polyakov había demostrado en 1987 que los instantones son la causa del confinamiento en QED compacto tridimensional. [2] Sin embargo, esta esperanza no se hizo realidad.
El instantón BPST es una solución clásica esencialmente no perturbativa de las ecuaciones de campo de Yang-Mills. Se encuentra al minimizar la densidad lagrangiana SU (2) de Yang-Mills :
con F μν a = ∂ μ A ν a – ∂ ν A μ a + g ε abc A μ b A ν c la intensidad del campo . El instantón es una solución con acción finita, por lo que F μν debe llegar a cero en el espacio-tiempo infinito, lo que significa que A μ pasa a una configuración de calibre pura. El espacio-tiempo infinito de nuestro mundo de cuatro dimensiones es S 3 . El grupo de calibre SU(2) tiene exactamente la misma estructura, por lo que las soluciones con calibre puro A μ en el infinito son asignaciones de S 3 sobre sí mismo. [1] Estas asignaciones pueden etiquetarse mediante un número entero q , el índice de Pontryagin (o número de bobinado ). Los instantenes tienen q = 1 y, por lo tanto, corresponden (en el infinito) a transformaciones de calibre que no pueden deformarse continuamente a la unidad. [3] La solución BPST es, por tanto, topológicamente estable.
Se puede demostrar que las configuraciones autoduales que obedecen a la relación F μν a = ± ½ ε μναβ F αβ a minimizan la acción. [4] Las soluciones con un signo más se llaman instantones, las que tienen el signo menos son antiinstantones.
Se puede demostrar que los instantáneos y antiinstantones minimizan la acción localmente de la siguiente manera:
El primer término se minimiza mediante configuraciones autoduales o antiautoduales, mientras que el último término es una derivada total y, por lo tanto, depende sólo de la frontera (es decir, ) de la solución; por lo tanto, es un invariante topológico y se puede demostrar que es un número entero multiplicado por alguna constante (la constante aquí es ). El número entero se llama número instantáneo (ver grupo de homotopía ).
Explícitamente la solución instanton viene dada por [5]
con z μ el centro y ρ la escala del instanten. η a μν es el símbolo de 't Hooft :
Para x 2 grande , ρ se vuelve insignificante y el campo de calibre se aproxima al de la transformación de calibre pura: . De hecho, la intensidad del campo es:
y se acerca a cero tan rápido como r −4 en el infinito.
Un anti-instanton se describe mediante una expresión similar, pero con el símbolo 't Hooft reemplazado por el símbolo anti-'t Hooft , que es igual al símbolo 't Hooft ordinario, excepto que los componentes con uno de los índices de Lorentz son iguales a cuatro tienen signo opuesto.
La solución BPST tiene muchas simetrías. [6] Las traslaciones y dilataciones transforman una solución en otras soluciones. La inversión de coordenadas ( x μ → x μ / x 2 ) transforma un instantón de tamaño ρ en un antiinstantón de tamaño 1/ρ y viceversa. Las rotaciones en cuatro espacios euclidianos y las transformaciones conformes especiales dejan la solución invariante (hasta una transformación de calibre).
La acción clásica de un instanton es igual a [4]
Dado que esta cantidad es exponencial en el formalismo integral de trayectoria, este es un efecto esencialmente no perturbativo, ya que la función e −1/ x^2 tiene una serie de Taylor que desaparece en el origen, a pesar de ser distinta de cero en otros lugares.
La expresión para el instante BPST dada anteriormente está en el llamado ancho de vía Landau regular . Existe otra forma, que es equivalente en calibre a la expresión dada anteriormente, en singular calibre Landau . En ambos calibres, la expresión satisface ∂ μ A μ = 0. En calibre singular, el instanten es
En calibre singular, la expresión tiene una singularidad en el centro del instanten, pero llega a cero más rápidamente para x hasta el infinito.
Cuando se trabaja en anchos distintos al ancho de Landau, se pueden encontrar expresiones similares en la literatura.
A temperatura finita, el instante BPST se generaliza a lo que se llama calorón .
Lo anterior es válido para una teoría de Yang-Mills con SU(2) como grupo de calibre. Puede generalizarse fácilmente a un grupo arbitrario no abeliano. Luego, los instantes están dados por el instante BPST para algunas direcciones en el espacio del grupo y por cero en las otras direcciones.
Al recurrir a una teoría de Yang-Mills con ruptura espontánea de simetría debido al mecanismo de Higgs , se encuentra que los instantones BPST ya no son soluciones exactas de las ecuaciones de campo. Para encontrar soluciones aproximadas, se puede utilizar el formalismo de instantes restringidos. [7]
Se espera que los instantones similares a BPST desempeñen un papel importante en la estructura de vacío de QCD . De hecho, los instantáneos se encuentran en los cálculos de celosías . Los primeros cálculos realizados con instantones utilizaron la aproximación del gas diluido. Los resultados obtenidos no resolvieron el problema infrarrojo de la QCD, lo que hizo que muchos físicos se alejaran de la física instantánea. Sin embargo, más tarde se propuso un modelo líquido instantáneo , que resultó ser un enfoque más prometedor. [8]
El modelo de gas instantáneo diluido parte de la suposición de que el vacío QCD consiste en un gas de instantáneos BPST. Aunque sólo se conocen con exactitud las soluciones con uno o pocos instantones (o antiinstantones), se puede aproximar un gas diluido de instantones y antiinstantones considerando una superposición de soluciones de un instanten a grandes distancias entre sí. 't Hooft calculó la acción efectiva para tal conjunto, [5] y encontró una divergencia infrarroja para grandes instantones, lo que significa que una cantidad infinita de instantones infinitamente grandes poblarían el vacío.
Posteriormente se estudió un modelo líquido instantáneo . Este modelo parte del supuesto de que un conjunto de instantes no puede describirse mediante una mera suma de instantes separados. Se han propuesto varios modelos, introduciendo interacciones entre instantes o utilizando métodos variacionales (como la "aproximación de valle") tratando de aproximarse lo más posible a la solución exacta de múltiples instantes. Se han alcanzado muchos éxitos fenomenológicos. [8] El confinamiento parece ser el mayor problema en la teoría de Yang-Mills para el cual los instantones no tienen respuesta alguna.
La interacción débil se describe mediante SU(2), por lo que se puede esperar que los instantones también desempeñen un papel allí. De ser así, inducirían una violación del número bariónico . Debido al mecanismo de Higgs , los instantones ya no son soluciones exactas, sino que se pueden utilizar aproximaciones. Una de las conclusiones es que la presencia de una masa de bosón de calibre suprime los instantones grandes, de modo que la aproximación del gas instantón es consistente.
Debido a la naturaleza no perturbativa de los instantones, todos sus efectos son suprimidos por un factor de e −16π²/ g ² , que, en teoría electrodébil, es del orden 10 −179 .
El instantón y el antiinstantón no son las únicas soluciones de las ecuaciones de campo de Yang-Mills rotadas por Wick. Se han encontrado soluciones de múltiples instantes para q igual a dos y tres, y también existen soluciones parciales para q mayor. Las soluciones generales de múltiples instantes sólo pueden aproximarse utilizando la aproximación del valle: se comienza desde un cierto ansatz (generalmente la suma del número requerido de instantes) y se minimiza numéricamente la acción bajo una restricción dada (manteniendo el número de instantes y los tamaños). de los instantones constantes).
También existen soluciones que no son autoduales. [9] Estos no son mínimos locales de la acción, sino que corresponden a puntos de silla.
Los instantones también están estrechamente relacionados con los merones , [10] soluciones singulares no duales de las ecuaciones de campo euclidianas de Yang-Mills de carga topológica 1/2. Se cree que los instantones están compuestos por dos merones.
