Conjunto Infinity-Borel

En teoría de conjuntos , un subconjunto de un espacio polaco es ∞-Borel si se puede obtener comenzando con los subconjuntos abiertos de e iterando transfinitamente las operaciones de complementación y unión bien ordenada . Este concepto generalmente se considera sin el supuesto del axioma de elección , lo que significa que los conjuntos ∞-Borel pueden no estar cerrados bajo una unión bien ordenada; vea abajo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definicion formal

Definimos el conjunto de códigos ∞-Borel y la función de interpretación a continuación. Un conjunto ∞-Borel es un subconjunto del cual está en la imagen de la función de interpretación . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\|-\right\|:C\to {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\|-\right\|}$

El conjunto de códigos ∞-Borel es de tipo inductivo generado por funciones , y para cada una ; la función de interpretación se define inductivamente como , y . Aquí denota el número de Hartogs de : un ordinal lo suficientemente grande como para que no haya inyección desde hasta . Restringir a las uniones de longitud siguientes no afecta las uniones posibles (ya que cualquier unión de longitud puede reemplazarse por una de longitud eliminando duplicados), pero garantiza que los códigos ∞-Borel formen un conjunto, no una clase adecuada . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathtt {open}}:{\mathcal {O}}(X)\to C}$ ${\displaystyle {\mathtt {comp}}:C\to C}$ ${\displaystyle {\mathtt {union}}_{\alpha }:C^{\alpha }\to C}$ ${\displaystyle \alpha <\Xi }$ ${\displaystyle \left\|{\mathtt {open}}(U)\right\|=U}$ ${\displaystyle \left\|{\mathtt {comp}}(c)\right\|=X\setminus \left\|c\right\|}$ ${\displaystyle \left\|{\mathtt {union}}_{\alpha }({\vec {c}})\right\|=\cup _{\beta <\alpha }\left\|c_{\beta }\right\|}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \geq \Xi }$ ${\displaystyle <\Xi }$

Esto se puede expresar de manera más teórica como una definición por recursividad transfinita de la siguiente manera:

• Para cada subconjunto abierto , el par ordenado es un código ∞-Borel; su interpretación es . ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle \left\langle 0,U\right\rangle }$ ${\displaystyle U}$
• Si es un código ∞-Borel, entonces el par ordenado también es un código ∞-Borel; su interpretación es el complemento de , es decir, . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \left\langle 1,c\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\|c\right\|}$ ${\displaystyle X\setminus \left\|c\right\|}$
• Si es una secuencia de longitud-α de códigos ∞-Borel para algún ordinal α < Ξ (es decir, si para cada β<α, hay un código ∞-Borel), entonces el par ordenado es un código ∞-Borel; su interpretación es . ${\displaystyle {\vec {c}}}$ ${\displaystyle c_{\beta }}$ ${\displaystyle \left\langle 2,{\vec {c}}\right\rangle }$ ${\displaystyle \bigcup _{\beta <\alpha }\left\|c_{\beta }\right\|}$

El axioma de elección implica que todo conjunto puede estar bien ordenado y, por tanto, que cada subconjunto de cada espacio polaco es ∞-Borela. Por lo tanto, la noción es interesante sólo en contextos donde el axioma de elección no se cumple (o no se sabe que se cumpla). Desafortunadamente, sin el axioma de elección, no está claro que los conjuntos ∞-Borel estén cerrados bajo una unión bien ordenada. Esto se debe a que, dada una unión bien ordenada de conjuntos de ∞-Borel, cada uno de los conjuntos individuales puede tener muchos códigos de ∞-Borel, y puede que no haya manera de elegir un código para cada uno de los conjuntos, con el cual formar el código para el sindicato.

La suposición de que todo conjunto de reales es ∞-Borel es parte de AD + , una extensión del axioma de determinabilidad estudiado por Woodin .

Definición incorrecta

Es muy tentador leer la descripción informal al principio de este artículo como si afirmara que los conjuntos ∞-Borel son la clase más pequeña de subconjuntos que contienen todos los conjuntos abiertos y cerrados bajo complementación y unión bien ordenada. Es decir, uno podría prescindir por completo de los códigos ∞-Borel y probar una definición como esta: ${\displaystyle X}$

Para cada ordinal α, defina por recursividad transfinita B _α de la siguiente manera:

1. B ₀ es la colección de todos los subconjuntos abiertos de . ${\displaystyle X}$
2. Para un ordinal par dado α, B _α+1 es la unión de B _α con el conjunto de todos los complementos de conjuntos en B _α .
3. Para un ordinal par dado α, B _α+2 es el conjunto de todas las uniones bien ordenadas de conjuntos en B _α+1 .
4. Para un límite ordinal dado λ, B _λ es la unión de todos los B _α para α<λ

B _β es igual a B _Ξ para todo β>Ξ; B _Ξ sería entonces la colección de "conjuntos ∞-Borel".

Este conjunto es manifiestamente cerrado bajo uniones bien ordenadas, pero sin el axioma de elección no se puede demostrar que sea igual a los conjuntos ∞-Borel (como se definió en la sección anterior). En concreto, este conjunto puede contener uniones de secuencias de conjuntos ∞-Borel para los cuales no es posible elegir un código para cada uno ; es el cierre de los conjuntos ∞-Borel bajo todas las uniones (y complementos) bien ordenados, incluso aquellas para las que no se puede elegir un código. ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ${\displaystyle b_{\beta }}$

Caracterización alternativa

Para subconjuntos del espacio de Baire o del espacio de Cantor , existe una definición alternativa más concisa (aunque menos transparente), que resulta ser equivalente. Un subconjunto A del espacio de Baire es ∞-Borel en caso de que exista un conjunto de ordinales S y una fórmula de primer orden φ del lenguaje de la teoría de conjuntos tal que, para cada x en el espacio de Baire,

${\displaystyle x\in A\iff L[S,x]\models \phi (S,x)}$

donde L [ S , x ] es el universo construible de Gödel relativizado a S y x . Cuando se utiliza esta definición, el código ∞-Borel se compone del conjunto S y la fórmula φ , tomados en conjunto.

Referencias

• Woodin, W. Hugh (1999). El axioma de determinación, los axiomas forzosos y el ideal no estacionario . Serie De Gruyter sobre lógica y sus aplicaciones. vol. 1. Berlín : Walter de Gruyter . pag. 618.ISBN​ 3-11-015708-X. ISSN  1438-1893.