Inestabilidad elástica

Inestabilidad elástica de una viga rígida soportada por un resorte angular.

La inestabilidad elástica es una forma de inestabilidad que ocurre en sistemas elásticos, como el pandeo de vigas y placas sujetas a grandes cargas de compresión.

Existen muchas formas de estudiar este tipo de inestabilidad. Una de ellas es utilizar el método de deformaciones incrementales basado en la superposición de una pequeña perturbación sobre una solución de equilibrio.

Sistemas de un solo grado de libertad

Consideremos como ejemplo simple una viga rígida de longitud L , articulada en un extremo y libre en el otro, y que tiene un resorte angular unido al extremo articulado. La viga está cargada en el extremo libre por una fuerza F que actúa en la dirección axial de compresión de la viga, vea la figura a la derecha.

Condición de equilibrio de momento

Suponiendo una desviación angular en el sentido de las agujas del reloj , el momento en el sentido de las agujas del reloj ejercido por la fuerza se convierte en . La ecuación de equilibrio de momentos está dada por ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle M_{F}=FL\sin \theta }$

${\displaystyle FL\sin \theta =k_{\theta }\theta }$

donde es la constante elástica del resorte angular (Nm/radián). Suponiendo que es lo suficientemente pequeña, implementando la expansión de Taylor de la función seno y manteniendo los dos primeros términos se obtiene ${\displaystyle k_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle FL{\Bigg (}\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}{\Bigg )}\approx k_{\theta }\theta }$

que tiene tres soluciones, la trivial y ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle \theta \approx \pm {\sqrt {6{\Bigg (}1-{\frac {k_{\theta }}{FL}}{\Bigg )}}}}$

que es imaginaria (es decir, no física) para y real en caso contrario. Esto implica que para fuerzas de compresión pequeñas, el único estado de equilibrio está dado por , mientras que si la fuerza excede el valor, de repente hay otro modo de deformación posible. ${\displaystyle FL<k_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle k_{\theta }/L}$

Método de energía

El mismo resultado se puede obtener considerando las relaciones de energía . La energía almacenada en el resorte angular es

${\displaystyle E_{\mathrm {spring} }=\int k_{\theta }\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}k_{\theta }\theta ^{2}}$

y el trabajo realizado por la fuerza es simplemente la fuerza multiplicada por el desplazamiento vertical del extremo de la viga, que es . Por lo tanto, ${\displaystyle L(1-\cos \theta )}$

${\displaystyle E_{\mathrm {force} }=\int {F\mathrm {d} x=FL(1-\cos \theta )}}$

La condición de equilibrio energético ahora da como resultado lo mismo que antes (además del trivial ). ${\displaystyle E_{\mathrm {spring} }=E_{\mathrm {force} }}$ ${\displaystyle F=k_{\theta }/L}$ ${\displaystyle \theta =0}$

Estabilidad de las soluciones

Cualquier solución es estable si un pequeño cambio en el ángulo de deformación da como resultado un momento de reacción que intenta restaurar el ángulo de deformación original. El momento neto en el sentido de las agujas del reloj que actúa sobre la viga es ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Delta \theta }$

${\displaystyle M(\theta )=FL\sin \theta -k_{\theta }\theta }$

Un cambio infinitesimal en el sentido de las agujas del reloj del ángulo de deformación da como resultado un momento ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle M(\theta +\Delta \theta )=M+\Delta M=FL(\sin \theta +\Delta \theta \cos \theta )-k_{\theta }(\theta +\Delta \theta )}$

que puede reescribirse como

${\displaystyle \Delta M=\Delta \theta (FL\cos \theta -k_{\theta })}$

ya que debido a la condición de equilibrio de momento, una solución es estable si un cambio en el sentido de las agujas del reloj da como resultado un cambio negativo del momento y viceversa. Por lo tanto, la condición de estabilidad se convierte en ${\displaystyle FL\sin \theta =k_{\theta }\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Delta \theta >0}$ ${\displaystyle \Delta M<0}$

${\displaystyle {\frac {\Delta M}{\Delta \theta }}={\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} \theta }}=FL\cos \theta -k_{\theta }<0}$

La solución es estable solo para , lo cual es de esperar. Al expandir el término coseno en la ecuación, se obtiene la condición de estabilidad aproximada: ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle FL<k_{\theta }}$

${\displaystyle |\theta |>{\sqrt {2{\Bigg (}1-{\frac {k_{\theta }}{FL}}{\Bigg )}}}}$

para , que las otras dos soluciones satisfacen. Por lo tanto, estas soluciones son estables. ${\displaystyle FL>k_{\theta }}$

Sistemas con múltiples grados de libertad

Inestabilidad elástica, 2 grados de libertad

Si se fija otra viga rígida al sistema original mediante un resorte angular, se obtiene un sistema de dos grados de libertad. Supongamos, para simplificar, que las longitudes de la viga y los resortes angulares son iguales. Las condiciones de equilibrio se convierten en

${\displaystyle FL(\sin \theta _{1}+\sin \theta _{2})=k_{\theta }\theta _{1}}$

${\displaystyle FL\sin \theta _{2}=k_{\theta }(\theta _{2}-\theta _{1})}$

donde y son los ángulos de las dos vigas. La linealización suponiendo que estos ángulos son pequeños da como resultado ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}FL-k_{\theta }&FL\\k_{\theta }&FL-k_{\theta }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

Las soluciones no triviales del sistema se obtienen encontrando las raíces del determinante de la matriz del sistema , es decir para

${\displaystyle {\frac {FL}{k_{\theta }}}={\frac {3}{2}}\mp {\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx \left\{{\begin{matrix}0.382\\2.618\end{matrix}}\right.}$

Por lo tanto, para el sistema de dos grados de libertad hay dos valores críticos para la fuerza aplicada F . Estos corresponden a dos modos diferentes de deformación que pueden calcularse a partir del espacio nulo de la matriz del sistema. Dividiendo las ecuaciones por se obtiene ${\displaystyle \theta _{1}}$

${\displaystyle {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}{\Big |}_{\theta _{1}\neq 0}={\frac {k_{\theta }}{FL}}-1\approx \left\{{\begin{matrix}1.618&{\text{for }}FL/k_{\theta }\approx 0.382\\-0.618&{\text{for }}FL/k_{\theta }\approx 2.618\end{matrix}}\right.}$

Para la fuerza crítica más baja, la relación es positiva y las dos vigas se desvían en la misma dirección, mientras que para la fuerza más alta, adoptan una forma de "banana". Estos dos estados de deformación representan las formas del modo de pandeo del sistema.

Véase también

• Pandeo
• Cavitación (elastómeros)
• Estabilidad de Drucker

Lectura adicional

• Teoría de la estabilidad elástica , S. Timoshenko y J. Gere