Indicadores de volumen y desplazamiento para una estructura arquitectónica

Los indicadores de volumen (W) y desplazamiento (Δ) fueron descubiertos por Philippe Samyn en 1997 para ayudar en la búsqueda de la geometría óptima de las estructuras arquitectónicas.

Objetivo

El estudio se limita a la búsqueda de la geometría que da la estructura de volumen mínimo.

El costo de una estructura depende de la naturaleza y la cantidad de los materiales utilizados, así como de las herramientas y recursos humanos necesarios para su producción.

Aunque los avances tecnológicos han reducido el coste de las herramientas y la cantidad de recursos humanos necesarios, y a pesar de que hoy en día es posible utilizar herramientas de cálculo informatizadas para determinar la dimensión de una estructura de forma que la carga que soporta en cada punto se encuentre dentro de los límites admisibles que permiten los materiales que la componen, también es necesario que su geometría sea óptima. Encontrar este punto óptimo no es nada sencillo, ya que la elección disponible es muy amplia.

Además, la resistencia de la estructura no es el único criterio a tener en cuenta. En muchos casos, también es importante asegurarse de que no sufra deformaciones excesivas bajo cargas estáticas o que no vibre hasta niveles incómodos o peligrosos cuando se someta a cargas dinámicas.

Los indicadores de volumen y desplazamiento, W y Δ, descubiertos por Philippe Samyn en agosto de 1997, son herramientas útiles en este sentido. Este enfoque no tiene en cuenta los fenómenos de inestabilidad elástica. De hecho, se puede demostrar que siempre es posible diseñar una estructura de modo que este efecto sea despreciable.

Los indicadores

El objetivo es determinar la morfología óptima para una estructura bidimensional de espesor constante, que:

• cabe en un rectángulo de dimensiones predeterminadas, longitudinal L y horizontal H, expresadas en metros (m);
• está hecho de uno (o varios) materiales con un módulo de elasticidad E, expresado en pascales (Pa), y que soporta una carga en todos los puntos dentro de su tensión admisible σ, expresada en pascales (Pa);
• es resistente a las cargas máximas a las que está sometido, en forma de una "resultante" F, expresada en Newtons (N).

Cada forma elegida corresponde a un volumen de material V (en m3 ⁾ y a una deformación máxima δ (en m). Su cálculo depende de los factores L, H, E, σ y F. Estos cálculos son largos y tediosos y enturbian el objetivo de encontrar la forma óptima.

Sin embargo, es posible superar este problema fijando cada factor en la unidad, mientras que todas las demás características permanecen iguales. La longitud L se fija por tanto en 1 m, H en H/L, E y σ en 1 Pa, y F en 1 N. Esta estructura "reducida" tiene un volumen de material W = σV/FL (el indicador de volumen) y una deformación máxima Δ = Eδ / σL (el indicador de desplazamiento). Su característica principal es que son números sin dimensiones físicas (adimensionales) y su valor, para cada morfología considerada, depende únicamente de la relación L/H, es decir, la relación de esbeltez geométrica de la forma.

Este método se puede aplicar fácilmente a estructuras tridimensionales como se ilustra en los siguientes ejemplos.

La teoría relacionada con los indicadores se enseña desde el año 2000, y entre otras instituciones, en el departamento de Ingeniería Civil y de Arquitectura de la Vrije Universiteit Brussel (VUB; sección "mecánica de materiales y construcciones") dando lugar a investigaciones y publicaciones bajo la dirección del Prof. Dr. Ir. Philippe Samyn (de 2000 a 2006); el Prof. Dr. Ir. Willy Patrick De Wilde (de 2000 a 2011) y ahora el Prof. Dr. Ir. Lincy Pyl.

El "libro de referencia", ^[1] desde entonces tesis de referencia, ^[2] informa sobre los desarrollos de la teoría en Samyn and Partners así como en la VUB, hasta 2004.

La teoría está abierta a todo aquel que quiera contribuir, debiendo calcularse W y Δ para cualquier estructura resistente tal y como se define en el apartado 1 anterior.

Los avances en las ciencias de los materiales, la robótica y la impresión tridimensional, conducen a la creación de nuevas formas estructurales más ligeras que las más ligeras conocidas hoy en día.

La geometría de superficies mínimas de espesor constante en un material homogéneo se modifica sustancialmente, por ejemplo, cuando el espesor y/o la tensión local admisible varían.

Macroestructura, elemento estructural, microestructura y material

Las macroestructuras aquí consideradas pueden estar compuestas de "elementos estructurales" cuyo material presenta una "microestructura".

Ya sea que se busque limitar la tensión o la deformación, la macroestructura, el elemento estructural y la microestructura tienen cada uno un peso Vρ , donde ρ es el peso volumétrico de los materiales, en N/m ³ , función de las solicitaciones { F ₀ } (por "fuerza" en general) que se les aplican, de su tamaño { L ₀ } (por longitud o "tamaño" en general), de su forma { G _e } (por geometría o "forma" en general), y de su material constitutivo { M _a } (por "material" en general).

${\displaystyle V\rho \div \{F_{0}\}\{L_{0}\}\{G_{e}\}\{M_{a}\}}$

También se puede expresar como forma y material ({ G _e }{ M _a }) que define el peso ( Vρ ) de la estructura de un tamaño dado bajo una fuerza dada ({ F ₀ }{ L ₀ }).

${\displaystyle {\frac {V\rho }{\{F_{0}\}\{L_{0}\}}}\div \{G_{e}\}\{M_{a}\}}$

En mecánica de materiales y para elementos estructurales sometidos a un caso específico de carga, el factor { G _e } corresponde al "factor de forma" para elementos de sección continua de un material sólido (sin huecos).

Sin embargo, el material que lo constituye puede presentar una microestructura con huecos. Esta estructura celular mejora el factor de forma, independientemente del caso de carga.

El factor { M _a } caracteriza un material cuya eficiencia puede compararse con la de otro para un caso de carga determinado, independientemente del factor de forma { G _e }.

Los indicadores W = σV / FL y Δ = δE / σL recién definidos, caracterizan las macroestructuras, mientras que las mismas notaciones y símbolos en minúsculas, w = σv / fl y Δ = δE / σl , se refieren al elemento estructural.

La figura 1 muestra los valores de W y Δ para el elemento estructural sometido a tracción, compresión, flexión y esfuerzo cortante. La columna de la izquierda se relaciona con la limitación de la tensión y la columna de la derecha con la limitación de la deformación. Muestra la relación directa de W con { G _e }{ M _a } como:

${\displaystyle V\rho \div \{F_{0}\}\{L_{0}\}\{G_{e}\}\{M_{a}\}\div V\sigma \cdot \rho /\sigma }$, de este modo ${\displaystyle V\sigma \div \{F_{0}\}\{L_{0}\}\{G_{e}\}\{M_{a}\}\cdot \sigma /\rho .}$

y

${\displaystyle W={\frac {\sigma V}{FL}}\div \left[{\frac {\{F_{0}\}}{F}}\right]\left[{\frac {\{L_{0}\}}{L}}\right]\{G_{e}\}\{M_{a}\}{\frac {\sigma }{\rho }},}$

o

${\displaystyle W\div \{G_{e}\}\{M_{a}\}\sigma /\rho }$para dimensiones y caso de carga determinados.

Entonces, como W y Δ dependen únicamente de : ${\displaystyle L/H}$

${\displaystyle W={\frac {\sigma V}{FL}}={\frac {\rho V}{FL}}{\frac {\sigma }{\rho }}}$

y:

${\displaystyle W{\frac {\rho }{\sigma }}={\frac {\rho V}{FL}}\div \{G_{e}\}\{M_{a}\},}$

que para un caso de carga dado, es el peso específico de una macroestructura por unidad de fuerza y ​​longitud, dependiendo únicamente de la geometría a través de L/H , y de los materiales a través de σ / ρ .

Wρ / σ incluye, por tanto, el factor material { M _a } ( ρ / σ y ρ / E para tracción y compresión sin pandeo, ρ / E ^1/2 para compresión limitada por pandeo, ρ / σ ^2/3 y ρ / E ^1/2 para flexión pura, ρ √ 3/ σ y ρ / G para cortante puro) y el factor de forma { G _e }.

Siendo todos los demás factores iguales, un conjunto de tubos con un diámetro H y un espesor de pared e , comparado con una barra sólida de igual volumen en un material caracterizado por ρ , σ , E et G , presenta una densidad aparente ρ _a = 4 k (1 −  k ) ρ con k = e / H , tensión admisible σ _a = 4 k (1 −  k ) σ ,

El módulo de Young es y el módulo de corte es . ${\displaystyle \ E_{a}=4k(1-k)E}$ ${\displaystyle \ G_{a}=4k(1-k)G}$

De este modo

${\displaystyle \ \rho _{a}/E_{a}^{1/2}=2{\sqrt {k-k^{2}}}\rho /E^{1/2}}$

y

${\displaystyle \rho _{a}/\sigma _{a}^{2/3}=(4k-4k^{2})^{1/3}\rho /\sigma ^{2/3}}$

Esto explica el mejor rendimiento de los materiales más ligeros para elementos estructurales sometidos a compresión o flexión.

Este indicador permite comparar la eficiencia de las macroestructuras incluyendo geometría y material.

Se hace eco del trabajo de MF Ashby: "Selección de materiales en diseño mecánico" (1992). ^[3] Analiza { G _e } y { M _a } por separado ya que, para sus estudios, { M _a } se relaciona con una gran cantidad de propiedades físicas de los materiales.

Diferente y complementario, también se puede colocar junto al trabajo realizado desde 1969 por el Institut Für Leichte Flächentragwerke en Stuttgart bajo la dirección de Frei Otto y ahora Werner SobekK, que se refiere a los índices denominados Tra y Bic . ^[4] El Tra se define como el producto de la longitud de la trayectoria de la fuerza F _r , (que causa el colapso de la estructura) sobre los soportes por la intensidad de esta fuerza, y el Bic es la relación de la masa de la estructura con Tra .

Dado que ρ* es la densidad del material (en kg/m ³ ), y α es, como W , una constante que depende del tipo de estructura y del caso de carga:

${\displaystyle Bic=\rho ^{*}V/Tra{\text{ and }}Tra=F_{r}L/\alpha ;}$

Por lo tanto, con el estrés alcanzado ${\displaystyle \sigma _{r}}$ ${\displaystyle F_{r}}$

${\displaystyle Bic=\alpha {\frac {\rho ^{*}V}{F_{r}L}}=\alpha {\frac {\rho ^{*}}{\sigma }}{\frac {F}{F_{r}}}W}$

y como

${\displaystyle \ {\frac {F}{F_{r}}}={\frac {\sigma }{\sigma _{r}}}\ :\ Bic={\frac {\rho ^{*}}{\sigma _{r}}}\alpha W.}$

A diferencia de W , que es adimensional, Bic se expresa en kg/Nm . Por lo tanto, dependiendo del material, no es posible una comparación independiente de diferentes morfologías. Es sorprendente notar que a pesar de la abundancia de sus trabajos, ninguno de ellos menciona o hace ningún esfuerzo por estudiar W y su relación con L/H .

Parece que sólo V. Quintas Ripoll ^{[5] , [6]} y W. Zalewski y St. Kus ^[7] mencionaron el indicador de volumen W sin examinarlo en profundidad.

Límites de validez deYoy Δ

• En general, los efectos de segundo orden tienen muy poca influencia en W , pero pueden tener un impacto significativo en Δ . Por lo tanto, W y Δ también dependen de E/σ .
• La fuerza cortante T puede ser decisiva en el caso de elementos cortos y continuos, sometidos a flexión, de modo que W no caiga por debajo de un valor dado, independientemente de la reducción de la esbeltez L/H . Sin embargo, esta limitación es muy teórica porque siempre es posible eliminarla transfiriendo material desde las alas al alma del perfil, cerca de los apoyos.
• La tensión σ a la que puede verse sometida la estructura depende de la naturaleza, la geometría interna, el método de producción y la implementación de los materiales, así como de varios otros factores, incluida la precisión dimensional de la construcción real, la naturaleza de las conexiones de los componentes o su resistencia al fuego, pero también la habilidad con la que se diseña la geometría de la estructura para hacer frente a la inestabilidad elástica. Pierre Latteur, ^[8] quien descubrió el indicador de pandeo, estudió la influencia de la inestabilidad elástica en W y Δ.

A este respecto, es importante señalar que la existencia de puntos de anclaje de un elemento en tracción puede reducir la tensión aparente admisible al mismo nivel que la reducción necesaria para tener en cuenta un nivel moderado de inestabilidad elástica. La influencia en W del pandeo de las partes comprimidas por un lado y de los puntos de anclaje en los extremos de un elemento en tracción por el otro lado se analiza en las páginas 30 a 58 del «libro de referencia».

• La tensión admisible σ también suele reducirse por la necesidad de limitar el desplazamiento δ de la estructura, ya que no es posible alterar significativamente E para un material determinado.
• Las consideraciones relativas a la fatiga, la ductilidad y las fuerzas dinámicas también limitan la tensión de trabajo.
• No siempre es sencillo establecer la naturaleza y la intensidad máxima global de las fuerzas F (incluido el peso propio) a las que está sometida la estructura, lo que a su vez tiene una influencia directa en la tensión de trabajo.
• Las uniones de un elemento en compresión o en tracción se consideran articuladas. Cualquier apriete, incluso parcial, introduce fuerzas parásitas que añaden peso extra a la estructura.
• Para ciertos tipos de estructuras, el volumen de las conexiones se suma al volumen neto definido por W. Su importancia depende de la naturaleza del material y del contexto en el que se utiliza; esto debe determinarse caso por caso.

De ello se deduce que, inicialmente, sólo se deben tener en cuenta W y Δ para el diseño morfológico de una estructura, suponiendo que ésta esté ultraamortiguada (es decir, su amortiguamiento interno es mayor que el amortiguamiento crítico), lo que la hace impermeable a las tensiones dinámicas. El volumen V de una estructura es, por tanto, directamente proporcional a la intensidad total de la fuerza F que se le aplica, a su longitud L y al factor morfológico W ; es inversamente proporcional a la tensión σ a la que puede verse sometida. Además, el peso de una estructura es proporcional a la densidad ρ del material del que está construida. Sin embargo, su desplazamiento máximo δ sigue siendo proporcional a la luz L y al factor morfológico Δ, así como a la relación entre su tensión de trabajo σ y el módulo de elasticidad E .

Si se trata de limitar el peso (o el volumen) y la deformación de una estructura para una tensión F y una luz L dadas , manteniendo todos los demás aspectos inalterados, entonces el trabajo del ingeniero estructural implica minimizar W y ρ/σ por un lado y Δ y σ/E por el otro.

Precisión deYoy Δ

Precisión teórica

En la gran mayoría de los elementos comprimidos, es posible limitar la reducción de la tensión de trabajo al 25% teniendo en cuenta la inestabilidad elástica, siempre que el diseñador se centre en asegurar un diseño geométrico eficiente ya desde los bocetos iniciales. Esto significa que el aumento de su indicador de volumen también puede limitarse al 25%. El volumen de los elementos sometidos a tracción pura también está limitado muy raramente al producto de la distancia neta sobre la que se aplica una fuerza por una sección deformada a la tensión admisible. En otras palabras, su indicador de volumen real es, por tanto, también superior al que resulta del cálculo de W. Una barra bajo tracción puede soldarse en sus extremos; no se añade ningún material adicional aparte del despreciable material de soldadura, pero la rigidez introduce momentos parásitos que absorben parte de la tensión admisible.

La barra puede articularse en sus extremos y trabajar bajo su tensión admisible, pero para ello se necesitan casquillos cerrados o mecanismos de fijación cuyo volumen esté lejos de ser despreciable, especialmente si la barra es corta o está muy estresada. Como demostró LH Cox ^[9] , en este caso conviene tener en cuenta n barras cada una con una sección transversal de Ω/ n , tensadas por una fuerza F/n con 2 n casquillos, en lugar de una barra con una sección transversal Ω tensada por una fuerza F con 2 casquillos, ya que el volumen total de 2 n casquillos en el primer caso es mucho menor que el de 2 casquillos en el segundo.

El anclaje de los extremos de una barra bajo tracción también puede asegurarse por adherencia, como suele ser el caso de las barras de refuerzo en elementos de hormigón armado. En este caso concreto, es necesario disponer de una longitud de anclaje al menos 30 veces el diámetro de la barra. La barra tiene entonces una longitud L  + 60 H para una longitud útil L ; su indicador teórico de volumen W = 1 se convierte en W = 1 + 60 H / L . En consecuencia, L / H debe ser superior a 240 (lo que siempre es teóricamente posible) para que W no aumente más del 25%. Esta observación también ayuda a mostrar otra razón para tener en cuenta n barras con una sección transversal Ω/ n en lugar de una barra con una sección transversal Ω.

Por último, las uniones mediante pernos, tacos, pasadores o clavos, sobre todo en el caso de componentes de madera, reducen considerablemente las secciones útiles. Por tanto, en la mayoría de los casos, en el caso de elementos sometidos a tracción es necesaria también una reducción del 25 % de la tensión de trabajo o un aumento del 25 % del volumen. Por tanto, la determinación del volumen y del desplazamiento de una estructura mediante los indicadores W y Δ es teóricamente fiable, siempre que:

• el estrés laboral se reduce al menos en un 25%;
• de dessiner les elementos comprendidos et les assemblages avec discernement.
• Se presta una gran atención al diseño de las piezas comprimidas y de las conexiones. Las proporciones generales de una estructura optimizada, sin tener en cuenta el pandeo, se modifican significativamente cuando es necesario acortar las barras comprimidas para tener en cuenta la inestabilidad elástica. Se vuelve sensible al efecto de escala, lo que lleva a una ampliación de las proporciones generales y a un aumento del peso de la estructura. A la inversa, es necesario acortar las proporciones generales cuando se debe tener en cuenta el volumen de las conexiones, ya que la influencia de este volumen se reduce cuando se alargan las barras. Esto demuestra la ventaja de diseñar con precisión no solo las piezas comprimidas, sino también las conexiones, para evitar estos defectos. ¡Por tanto, las esculturas ligeras de Niki de Saint-Phalle son preferibles a las estructuras esbeltas pero pesadas de Giacometti!

Precisión práctica

El volumen del material de la estructura, determinado mediante W , sólo se puede obtener con precisión si se pueden medir en la práctica los valores teóricos de la característica relevante de las secciones bajo tensión σ . Como se muestra en la Figura 1 anterior, esta característica es:

• Ω para un elemento bajo compresión pura sin pandeo;
• I para un elemento sometido a compresión pura con pandeo (así como para deformación bajo

flexión pura);

• I / H para un elemento sometido a flexión simple.

Siempre es posible obtener el valor preciso de estas características cuando las piezas están realizadas en materiales moldeados, como el hormigón armado, o en materiales escuadrados, como la madera o la piedra. Sin embargo, no es así en el caso de materiales laminados o extruidos, producidos en una línea de producción industrial, como el acero o el aluminio. Por tanto, es importante producir estos elementos con la menor diferencia de tamaño posible entre dos de ellos para evitar un uso innecesario de material. Este uso es consistente cuando la desviación relativa c entre dos valores sucesivos k _n y k _{n +1} es constante, por lo tanto ( k _{n +1}  −  k _n ) / k _n = c o k _{n +1} = ( c  + 1) k _n o k _{n +1} = ( c + 1) ⁿ k ₀ .

Este es el principio de la serie geométrica conocida como Serie Renard (nombrada en honor al Coronel Renard, quien fue el primero en utilizarlas para calcular el diámetro del cableado en aeronaves) que figura en la norma francesa NF X01-002. ^[10] Cuando todos los valores necesarios son solo ligeramente superiores a un valor de la serie, c representa el aumento máximo y c /2 el aumento medio de W . Al ser de uso universal, el caso de los perfiles de acero requiere un examen en profundidad (ver el "libro de referencia"; páginas 26 a 29). En consecuencia, el uso de perfiles de acero industriales conduce automáticamente a un aumento significativo de W :

• por la mitad de la inexactitud teórica para la compresión pura;
• prácticamente idénticos para flexión o compresión sujetos a pandeo.

Esta situación se magnifica cuando el número de perfiles disponibles es limitado, lo que puede explicar el uso de formas que no son teóricamente óptimas pero que tienden a someter los perfiles disponibles a la tensión admisible σ (como, por ejemplo, torres para líneas eléctricas de alta tensión o puentes de celosía de altura variable). Para estructuras sometidas a flexión pura, esto también explica el uso de placas planas de longitudes variables añadidas a las alas de estos perfiles en I para obtener la inercia o momento resistente requerido, con el mayor grado de precisión. Por el contrario, la gran variedad de tubos disponibles permite un valor de desviación relativa c más pequeño y más constante. También cubren un rango mucho más amplio tanto en los valores característicos inferiores como en los superiores. Dado que sus prestaciones geométricas son prácticamente idénticas a las de los perfiles en I, los tubos son la solución industrial más adecuada para eliminar prácticamente cualquier aumento del indicador de volumen W . Sin embargo, cuestiones prácticas de disponibilidad y corrosión pueden limitar su uso.

Algunos ejemplos deYoy Δ

Las siguientes figuras muestran los valores de los indicadores según la relación L/H para varios tipos de estructuras.

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Figura 2 y 3: W y Δ para un tramo isostático horizontal bajo una carga vertical uniformemente distribuida compuesta por:

• perfiles de sección transversal constante, desde perfiles en I hasta perfiles cilíndricos macizos;
• diferentes tipos de cerchas;
• arcos parabólicos con o sin colgajos o columnillas, de sección constante o variable.

Figura 4: para la transferencia a dos apoyos equidistantes en la horizontal de una carga puntual vertical (en este caso Δ=W) o de plomo uniformemente distribuida: F = 1.

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Figura 5 y 6: W para un mástil vertical, de ancho constante, sometido a una carga horizontal distribuida uniformemente a lo largo de su altura o concentrada en la parte superior.

Figura 7: W para una membrana de revolución sobre un eje vertical, con un espesor constante o variable, bajo una carga vertical uniformemente distribuida. Es sorprendente observar que el valor mínimo se alcanza para una cúpula cónica de espesor variable con un ángulo de apertura de 90° ( L / H = 2; W = 0,5!).

Desarrollos

Las aplicaciones tratadas en el «libro de referencia» son:

• cerchas,
• vigas rectas continuas,
• arcos, cables y estructuras arriostradas,
• Mástiles,
• pórticos,
• membranas de revolución.

Algunos ejemplos de estructuras compuestas con W mínimo

W se puede determinar fácilmente para optimizar estructuras formadas por varios elementos de construcción diferentes (véase el «libro de referencia» páginas 100-106), como se muestra, por ejemplo, para la turbina eólica en la figura 8.

Figura 8

O un techo parabólico acoplado a grandes frontones verticales vidriados sujetos a cargas de viento, como el que se ve en la estación de Lovaina en Bélgica, que se muestra en la Figura 9 (ver referencia ^[11] para un análisis detallado).

Figura 9

La optimización de la cercha King Cross para la fachada del edificio Europa en Bruselas (ver referencia ^[12] páginas 93-101 para un análisis detallado) es otro ejemplo.

Figura 10

Véase también

• Ingeniería arquitectónica

Notas y referencias

1. Philippe Samyn, Estudio de la morfología de las estructuras con ayuda de indicadores de volumen y desplazamiento , Académie royale de Belgique, Bruselas, 2004, 482 p; www.samynandpartners.com (para libros electrónicos en línea), ( ISBN  2-8031-0201-3 ).
2. Philippe Samyn, Estudio comparado del volumen y del desplazamiento de estructuras bidimensionnelles, sous cargas verticales entre deux appuis vers un instrumento de evaluación y prédimensionnement des estructuras , Tomo I: Mémoire, 175 p.; Tomo II: Anexos, 184 p.; Tomo III: Figuras, 197 p. (4 de julio de 1999); Tomo IV: Epílogo, 33 p. + 14 figuras (1 de diciembre de 1999). Tesis doctoral en Ciencias Aplicadas, Universidad de Lieja.
3. MF Ashby, Selección de materiales en diseño mecánico , 311 páginas, 1997. Edición Butterworth-Heinemann, división de Reed Educational and Professional Publishing Ltd. Oxford (primera edición en 1992 por Pergamon Press Ltd), Reino Unido.
4. Il Publikationen: Institut Für Leichte Flächentragwerke , Universität Stuttgart, plaffenwaldring, 14, 70569 Stuttgart; (Director actual: Prof. Dr. Ir. Werner Sobek). teléfono 00.49.711.685.35.99 – fax [phone]
5. Valentín Quintas Ripoll, Pro. Dep. Titular. Estructuras de Edificación ETS Arquitectura. Universidad Politécnica de Madrid, Sobre el teorema de Maxwell y la optimización de arcos de cubierta , Informes de la construcción, Vol 40, n°400, marzo/abril 1989, páginas 57 à 70, Madrid.
6. Valentin Quintas Ripoll, Sobre las formas de minimo volumen de las celosías de sección constante , Informes de la Construcción, Vol 43, n°418, marzo/abril 1992, páginas 61 à 77, Madrid.
7. W. Zalewski, St. Kus, Shaping structures for lowest Weight , actas del Congreso Internacional de la IASS sobre Carcasas y Estructuras Espaciales, Stuttgart, 1992, páginas 376 a 383.
8. P. Latteur, Optimización de treillis, arcos, poutres et cables sur base d'indicateurs morphologiques - Aplicación de estructuras soumises en partie ou en totalité au flambement , Tomo I: Tesis, 328 p.; Tomo II: Apéndice de tesis, 12 p.; Tomo III: Apéndice al capítulo 2, 432 p. (mayo de 2000). Doctor en Filosofía. Tesis en Ciencias Aplicadas, Vrije Universiteit Brussel.
9. LH Cox, El diseño de estructuras de mínimo peso , 135 p., 1965, Pergamon Press, Londres.
10. Asociación Nacional Francesa de Normalización (Association Française de Normalisation/AFNOR), NFX 01-002 Guide pour le choix des séries de nombres normaux et des séries comportant des valeurs plus arrondies de nombres normaux , 6 páginas, diciembre de 1967, París.
11. Jan de Coninck, Estación de tren de Lovaina , Waregem, Vision Publishers, 2008, 176 p., ( ISBN 978-90-79881-00-0 ), (www.samynandpartners.com para libro electrónico en línea 
12. Jean Attali, Europa, Consejo Europeo y Consejo de la Unión Europea , Lannoo-Racine, Tielt-Bruxelles, 2013, 256 p. ( ISBN 978 940 1414494 ) (www.samynandpartners.com para libro electrónico en línea)