Incorporación de Kuratowski

En matemáticas , la incrustación de Kuratowski permite considerar cualquier espacio métrico como un subconjunto de algún espacio de Banach . Recibe su nombre en honor a Kazimierz Kuratowski .

La afirmación es válida obviamente para el espacio vacío. Si ( X , d ) es un espacio métrico, x ₀ es un punto en X y C _b ( X ) denota el espacio de Banach de todas las funciones reales continuas acotadas en X con la norma suprema , entonces la función

${\displaystyle \Phi :X\rightarrow C_{b}(X)}$

definido por

${\displaystyle \Phi (x)(y)=d(x,y)-d(x_{0},y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X}$

es una isometría . ^[1]

La construcción anterior puede verse como la incorporación de un espacio métrico puntiagudo en un espacio de Banach.

El teorema de Kuratowski-Wojdysławski establece que todo espacio métrico acotado X es isométrico a un subconjunto cerrado de un subconjunto convexo de algún espacio de Banach. ^[2] (NB la imagen de esta incrustación está cerrada en el subconjunto convexo, no necesariamente en el espacio de Banach). Aquí usamos la isometría

${\displaystyle \Psi :X\rightarrow C_{b}(X)}$

definido por

${\displaystyle \Psi (x)(y)=d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X}$

El conjunto convexo mencionado anteriormente es la envoltura convexa de Ψ( X ).

En ambos teoremas de incrustación, podemos reemplazar C _b ( X ) por el espacio de Banach ℓ  ^∞ ( X ) de todas las funciones acotadas X → R , nuevamente con la norma suprema, ya que C _b ( X ) es un subespacio lineal cerrado de ℓ  ^∞ ( X ).

Estos resultados de incrustación son útiles porque los espacios de Banach tienen una serie de propiedades útiles que no comparten todos los espacios métricos: son espacios vectoriales que permiten sumar puntos y realizar geometría elemental que involucra líneas y planos, etc.; y son completos . Dada una función con codominio X , con frecuencia es deseable extender esta función a un dominio más grande, y esto a menudo requiere ampliar simultáneamente el codominio a un espacio de Banach que contenga X.

Historia

Formalmente hablando, esta incrustación fue introducida por primera vez por Kuratowski [ ^3], pero una variación muy cercana de esta incrustación ya aparece en los artículos de Fréchet . Esos artículos hacen uso de la incrustación respectivamente para exhibir como un espacio métrico separable "universal" (no es en sí mismo separable, de ahí las comillas) ^[4] y para construir una métrica general en al retirar la métrica en una curva de Jordan simple en ^[5] . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Véase también

• Tramo estrecho , una incrustación de cualquier espacio métrico en un espacio métrico inyectivo definido de manera similar a la incrustación de Kuratowski

Referencias

1. Juha Heinonen (enero de 2003), Incrustaciones geométricas de espacios métricos , consultado el 6 de enero de 2009
2. Karol Borsuk (1967), Teoría de las retractaciones , Varsovia{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )Teorema III.8.1
3. Kuratowski, C. (1935) "Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-separables" (Algunos problemas relacionados con espacios métricos no separables), Fundamenta Mathematicae 25: págs.
4. Fréchet, Maurice (1 de junio de 1910). "Les dimensiones de un conjunto abstracto". Annalen Matemáticas . 68 (2): 161–163. doi :10.1007/BF01474158. ISSN  0025-5831 . Consultado el 17 de marzo de 2024 .
5. Fréchet, Maurice (1925). "L'Expression la Plus Generale de la" Distancia "Sur Une Droite". Revista Estadounidense de Matemáticas . 47 (1): 4–6. doi :10.2307/2370698. ISSN  0002-9327 . Consultado el 17 de marzo de 2024 .