Identificabilidad estructural

En el área de identificación de sistemas , un sistema dinámico es estructuralmente identificable si es posible inferir sus parámetros desconocidos midiendo su salida a lo largo del tiempo. Este problema surge en muchas ramas de las matemáticas aplicadas, ya que los sistemas dinámicos (como los descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias ) se utilizan comúnmente para modelar procesos físicos y estos modelos contienen parámetros desconocidos que normalmente se estiman utilizando datos experimentales. ^[1]^[2]^[3]

Sin embargo, en ciertos casos, la estructura del modelo puede no permitir una solución única para este problema de estimación, incluso cuando los datos son continuos y libres de ruido. Para evitar posibles problemas, se recomienda verificar la unicidad de la solución de antemano, antes de realizar cualquier experimento real. La falta de identificabilidad estructural implica que existen múltiples soluciones para el problema de identificación del sistema, y la imposibilidad de distinguir entre estas soluciones sugiere que el sistema tiene un poder de predicción pobre como modelo. ^[4] Por otro lado, se han propuesto sistemas de control con el objetivo de hacer que el sistema de bucle cerrado sea inidentificable, disminuyendo su susceptibilidad a ataques encubiertos dirigidos a sistemas ciberfísicos . ^[5]

Ejemplos

Sistema lineal invariante en el tiempo

Fuente^[2]

Consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo con la siguiente representación en el espacio de estados :

${\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}(t)&=-\theta _{1}x_{1},\\{\dot {x}}_{2}(t)&=\theta _{1}x_{1},\\y(t)&=\theta _{2}x_{2},\end{aligned}}$

y con condiciones iniciales dadas por y . La solución de la salida es $x_{1}(0)=\theta _{3}$ $Estilo de visualización x_{2}(0)=0}$ ${\estilo de visualización y}$

$y(t)=\theta _{2}\theta _{3}e^{-\theta _{1}t}\left(e^{\theta _{1}t}-1\right),$

lo que implica que los parámetros y no son estructuralmente identificables. Por ejemplo, los parámetros generan la misma salida que los parámetros . $\theta_{2}$ $estilo de visualización {\theta_{3}}$ $\theta_{1}=1,\theta_{2}=1,\theta_{3}=1$ $\theta_{1}=1,\theta_{2}=2,\theta_{3}=0,5$

Sistema no lineal

Fuente^[6]

Un modelo de un posible mecanismo de homeostasis de la glucosa se da mediante las ecuaciones diferenciales ^[7]

${\begin{aligned}&{\dot {G}}=u(0)+u-(c+s_{\mathrm {i} }\,I)G,\\&{\dot {\beta }}=\beta \left({\frac {1.4583\cdot 10^{-5}}{1+\left({\frac {8.4}{G}}\right)^{1.7}}}-{\frac {1.7361\cdot 10^{-5}}{1+\left({\frac {G}{8.4}}\right)^{8.5}}}\right),\\&{\dot {I}}=p\,\beta \,{\frac {G^{2}}{\alpha ^{2}+G^{2}}}-\gamma \,I,\end{aligned}}$

donde ( c , s _i , p , α , γ ) son parámetros del sistema, y los estados son la concentración plasmática de glucosa G , la concentración plasmática de insulina I y la masa funcional de la célula beta β. Es posible demostrar que los parámetros p y s _i no son estructuralmente identificables: cualquier elección numérica de parámetros p y s _i que tengan el mismo producto ps _i son indistinguibles. ^[6]

Identificabilidad práctica

La identificabilidad estructural se evalúa mediante el análisis de las ecuaciones dinámicas del sistema y no tiene en cuenta los posibles ruidos en la medición de la salida. Por el contrario, la no identificabilidad práctica también tiene en cuenta los ruidos. ^[1]^[8]

Otras nociones relacionadas

La noción de estructuralmente identificable está estrechamente relacionada con la observabilidad , que se refiere a la capacidad de inferir el estado del sistema midiendo las trayectorias de la salida del sistema. También está estrechamente relacionada con la informatividad de los datos, que se refiere a la selección adecuada de entradas que permiten la inferencia de los parámetros desconocidos. ^[9]^[10]

La (falta de) identificabilidad estructural también es importante en el contexto de la compensación dinámica de los sistemas de control fisiológico. Estos sistemas deberían garantizar una respuesta dinámica precisa a pesar de las variaciones en ciertos parámetros. ^[11]^[12] En otras palabras, mientras que en el campo de la identificación de sistemas, la no identificabilidad se considera una propiedad negativa, en el contexto de la compensación dinámica, la no identificabilidad se convierte en una propiedad deseable. ^[12]

La identificabilidad también aparece en el contexto del control óptimo inverso . En este caso, se supone que los datos provienen de una solución de un problema de control óptimo con parámetros desconocidos en la función objetivo. En este caso, la identificabilidad se refiere a la posibilidad de inferir los parámetros presentes en la función objetivo utilizando los datos medidos. ^[13]

Software

Existen muchos programas que se pueden utilizar para analizar la identificabilidad de un sistema, incluidos los sistemas no lineales: ^[14]

PottersWheel : caja de herramientas de MATLAB que utiliza la probabilidad de perfil para el análisis de identificabilidad estructural y práctica.
Biblioteca Julia para evaluar la identificabilidad de parámetros estructurales. ^[15]
STRIKE-GOLDD: caja de herramientas de MATLAB para el análisis de identificabilidad estructural. ^[16]

Véase también

Referencias

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